题目内容

【题目】如图,等边三角形OBC的边长为10,点P沿O→B→C→O的方向运动,⊙P的半径为 . ⊙P运动一圈与△OBC的边相切________次,每次相切时,点P到等边三角形顶点最近距离是________

【答案】6 2

【解析】

分析图形,确定⊙P在运动过程中与各边相切时的情况,从而确定相切次数;

根据切线的性质,由切线与圆的半径垂直,等边三角形的各内角为60°,确定每次相切时,点P的位置,利用三角函数的知识求出⊙P与各边相切时切点与相邻顶点的距离,问题即可解答.

在点P的运动过程中,⊙P依次与OC、BC、BO、CO、BC、OB相切,故⊙P运动一圈与OBC的边相切6次.

当⊙POC相切时,如图所示,过点PPACO,则

∵△OBC是等边三角形,

∴∠COP=60°.

OP=PA÷sin60°=2.

同理可得:⊙PBC相切时BP=2,PBO相切时BP=2,PCO第二次相切时,CP=2,PBC第二次相切时CP=2,POB第二次相切时OP=2.

综上可得:⊙POBC的边相切时,点P的位置分别是OP=2(点POBOC上);PB=2(点POBBC上);PC=2(点PBCOC上).

故答案为:6,2.

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