题目内容

【题目】如图1OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为原点,点Ax轴的正半轴上,点Cy轴的正半轴上,OA=5OC=4

1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折,使点O落在BC边上的点E处,求DE两点的坐标;

2)如图2,若AE上有一动点P(不与AE重合)自A点沿AE方向E点匀速运动,运动的速度为每秒1个单位长度,设运动的时间为t秒(0t5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点MAE平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式;当t取何值时,s有最大值,最大值是多少?

3)在(2)的条件下,当t为何值时,以AME为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M的坐标?

【答案】(1)D(0,2.5),E(2,4);(2)S =﹣0.5t2+2.5t,当t=2.5时,S矩形PMNE有最大值;(3)t=2.5或t=2时,以AME为顶点的三角形为等腰三角形,M点的坐标为(2.5,1.25)或(5﹣2).

【解析】试题分析:1)根据折叠的性质可知:AE=OAOD=DE,那么可在直角三角形ABE中,用勾股定理求出BE的长,进而可求出CE的长,也就得出了E点的坐标.在直角三角形CDE中,CE长已经求出,CD=OC-OD=4-ODDE=OD,用勾股定理即可求出OD的长,也就求出了D点的坐标.

2)很显然四边形PMNE是个矩形,可用时间t表示出APPE的长,然后根据相似三角形APMAED求出PM的长,进而可根据矩形的面积公式得出St的函数关系式,根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值.

3)本题要分两种情况进行讨论:

ME=MA时,此时MP为三角形ADE的中位线,那么AP=,据此可求出t的值,过MMFOAF,那么MF也是三角形AOD的中位线,M点的横坐标为A点横坐标的一半,纵坐标为D点纵坐标的一半.由此可求出M的坐标.

②当MA=AE时,先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长,然后根据相似三角形AMPADE来求出APMP的长,也就能求出t的值.根据折叠的性质,此时AF=APMF=MP,也就求出了M的坐标.

试题解析:

1)依题意可知,折痕AD是四边形OAED的对称轴,

∴在RtABE中,AE=AO=5AB=4

BE==3

CE=2

E点坐标为(24).

RtDCE中,DC2+CE2=DE2

又∵DE=OD

4﹣OD2+22=OD2

解得:OD=2.5

D点坐标为(02.5).

2)如图②∵PMED

∴△APM∽△AED

又知AP=tED=2.5AE=5PM=0.5t×2.5=0.5t

又∵PE=5﹣t

而显然四边形PMNE为矩形.

S矩形PMNE=PMPE=0.5t×5﹣t=﹣0.5t2+2.5t

S四边形PMNE=0.5t2.52+

又∵02.55

∴当t=2.5时,S矩形PMNE有最大值

3)(i)若以AE为等腰三角形的底,则ME=MA(如图①

RtAED中,ME=MA

PMAE

PAE的中点,

t=AP=0.5AE=2.5

又∵PMED

MAD的中点.

过点MMFOA,垂足为F,则MFOAD的中位线,

MF=0.5OD=1.25OF=0.5OA=2.5

∴当t=2.5时,(02.55),AME为等腰三角形.

此时M点坐标为(2.51.25).

ii)若以AE为等腰三角形的腰,则AM=AE=5(如图②

RtAOD中,AD===

过点MMFOA,垂足为F

PMED

∴△APM∽△AED

t=AP== =

PM=t=

MF=MP=OF=OAAF=OAAP=52

∴当t=2时,(025),此时M点坐标为(52 ).

综合(i)(ii)可知,t=2.5t=2时,以AME为顶点的三角形为等腰三角形,

相应M点的坐标为(2.51.25)或(52 ).

点睛:本题主要考查了矩形的性质,勾股定理,图形的翻折变换,相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用等知识点,综合性较强.

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