Question

在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积（π取3.14）；
（2）某时刻海面上出现-渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离．（≈1.7，保留三个有效数字）；
（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，求得半径的长，再根据面积公式求得圆形区域的面积；
（2）根据勾股定理求得AB的长；
（3）根据已知求得AD的长，设直线O′F交⊙O′于点P，从而求得PE的长．将PE与AD比较，若PE＜AD则不会进入海洋生物保护区，否则能进入．
解答：解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO=90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心．
则OC为⊙O′的直径．
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=
半径OO′=5，S_⊙O′=π•5²=25π=78.50．

（2）解法一：过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x，
由勾股定理得，AD=，
由题意知：OD=OB+BD=6+x，在Rt△AOD中，OD=AD，6+x=，
∴x==3（+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2；
解法二：过点A作AD⊥x轴于点D，则∠AOD=45°，∠BAD=30°，∠ABD=90°-30°=60°，
在Rt△ABD中，设BD=x，则AB=2x．
∵tan60°=，
∴AD=xtan60°=；
在Rt△AOD中，OD=OB+BD=6+x，
∵tan45°=，
∴AD=tan45°•（6+x）=6+x．
∴=6+x，x==3（+1）≈3（1.7+1）=8.1，
∴AB=2x=2×8.1=16.2．
或AB=≈6（1.7+1）=16.2；
解法三：过点A作AD⊥x轴于点D．
在Rt△ABD中，设BD=x，AD=y，
∵∠ABD=90°-30°=60°，tan60°=，∴．
在Rt△AOD中，∠AOD=45°，OD=6+x．
∵tan45°=，
∴y=6+x，
∴=6+x，以下同解法二．

（3）解法一：过点A作AG⊥y轴于点G．
过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F．
由（1）知，OO′=5，由垂径定理得，OE=BE==3．
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=
∵四边形FEDA为矩形．
∴EF=DA，而AD=×8.57≈14.6，
∴O′F=14.6-4=10.6＞5，
∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区．
解法二：AD=x=×3（+1）=9+3，
设直线O′F交⊙O′于点P，PE=5+4=9＜，
即PE＜AD，由矩形FEDA可得FE=AD．
∴PE＜FE，
所以A船不会进入海洋生物保护区．
点评：此题考查了学生对圆形的面积，勾股定理及方向角等知识点的掌握情况．