题目内容

在某张航海图上,标明了三个观测点的坐标,如图,O(0,0)、B(6,0)、C(6,8),由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.
(1)求圆形区域的面积(π取3.14);
(2)某时刻海面上出现-渔船A,在观测点O测得A位于北偏东45°,同时在观测点B测得A位于北偏东30°,求观测点B到A船的距离.(≈1.7,保留三个有效数字);
(3)当渔船A由(2)中位置向正西方向航行时,是否会进入海洋生物保护区?通过计算回答.
【答案】分析:(1)根据题意,求得半径的长,再根据面积公式求得圆形区域的面积;
(2)根据勾股定理求得AB的长;
(3)根据已知求得AD的长,设直线O′F交⊙O′于点P,从而求得PE的长.将PE与AD比较,若PE<AD则不会进入海洋生物保护区,否则能进入.
解答:解:(1)连接CB,CO,则CB∥y轴,
∴∠CBO=90°,
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心.
则OC为⊙O′的直径.
由已知得OB=6,CB=8,由勾股定理得OC=
半径OO′=5,S⊙O′=π•52=25π=78.50.

(2)解法一:过点A作AD⊥x轴于点D,依题意,得∠BAD=30°,
在Rt△ABD中,设BD=x,则AB=2x,
由勾股定理得,AD=
由题意知:OD=OB+BD=6+x,在Rt△AOD中,OD=AD,6+x=
∴x==3(+1)≈3(1.7+1)=8.1,
∴AB=2x=2×8.1=16.2;
解法二:过点A作AD⊥x轴于点D,则∠AOD=45°,∠BAD=30°,∠ABD=90°-30°=60°,
在Rt△ABD中,设BD=x,则AB=2x.
∵tan60°=
∴AD=xtan60°=
在Rt△AOD中,OD=OB+BD=6+x,
∵tan45°=
∴AD=tan45°•(6+x)=6+x.
=6+x,x==3(+1)≈3(1.7+1)=8.1,
∴AB=2x=2×8.1=16.2.
或AB=≈6(1.7+1)=16.2;
解法三:过点A作AD⊥x轴于点D.
在Rt△ABD中,设BD=x,AD=y,
∵∠ABD=90°-30°=60°,tan60°=,∴
在Rt△AOD中,∠AOD=45°,OD=6+x.
∵tan45°=
∴y=6+x,
=6+x,以下同解法二.

(3)解法一:过点A作AG⊥y轴于点G.
过点O′作O′E⊥OB于点E,并延长EO′交AG于点F.
由(1)知,OO′=5,由垂径定理得,OE=BE==3.
∴在Rt△OO′E中,由勾股定理得,O′E=
∵四边形FEDA为矩形.
∴EF=DA,而AD=×8.57≈14.6,
∴O′F=14.6-4=10.6>5,
∴直线AG与⊙O′相离,A船不会进入海洋生物保护区.
解法二:AD=x=×3(+1)=9+3
设直线O′F交⊙O′于点P,PE=5+4=9<
即PE<AD,由矩形FEDA可得FE=AD.
∴PE<FE,
所以A船不会进入海洋生物保护区.
点评:此题考查了学生对圆形的面积,勾股定理及方向角等知识点的掌握情况.
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