题目内容
（2009•攀枝花）如图所示，已知实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根，抛物线y=
x2+bx+c交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴于点C（0，m）．（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作DE∥BC交AC于点E，又过D作DF∥AC交BC于点F，当四边形DECF的面积最大时，求点D的坐标；
（3）设△AOC的外接圆为⊙G，若M是⊙G的优弧ACO上的一个动点，连接AM、OM，问在这个抛物线位于y轴左侧的图象上是否存在点N，使得∠NOB=∠AMO？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）解方程可求得m的值，即可确定A、C的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．
（2）欲求四边形CEDF的面积最大值，需将面积问题转化为二次函数的最值问题；可设出D点的横坐标，即可表示出DB、AD的长，易证得△BFD、△AED都与△ABC相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到△BFD和△DEA的面积表达式，而平行四边形CEDF的面积为△ABC、△BFD、△DEA的面积差，由此可得到关于平行四边形CEDF的面积和D点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形CEDF的面积最大值及对应的D点坐标．
（3）根据A、C的坐标，易知△AOC是等腰直角三角形，那么G为AC的中点，假设存在符合条件的N点，由于N在y轴左侧，那么∠NOB＜90°，若∠AMO=∠NOB，那么∠AMO必为锐角，即M在劣弧OC上；根据圆周角定理知∠AMD=∠OCA=45°，那么∠NOB=45°，即N点的横、纵坐标的绝对值相等，再联立抛物线的解析式，即可求得N点的坐标．
解答：解：（1）∵实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根，
∴m=4；
即A（4，0）、C（0，4），代入抛物线的解析式中，可得：
，
解得
；
∴抛物线的解析式为：y=
x2+x+4；
（2）易知：B（-2，0），则AB=6，S△ABC=
AB•OC=12；
设点D的坐标为：（d，0），则BD=d+2，AD=4-d；
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴
=
；
∵S△ABC=12，
∴S△BDF=
（d+2）2；
同理可求得：S△ADE=
（4-d）2；
∴S?CEDF=S△ABC-S△BDF-S△ADE
=12-
（d+2）2-
（4-d）2
=-
d2+
d+
=-
（d-1）2+6；
故当d=1，即D（1，0）时，四边形CEDF的面积最大，且最大值为6．
（3）如图：
由于A（4，0）、C（0，4），那么OA=OC=4，即△OAC是等腰直角三角形；
点N在y轴左侧，那么∠NOB＜90°，
因此∠AMO也是锐角，即M在弧ACO上，由圆周角定理知：∠ACO=∠AMO=45°，
故∠NOB=∠AMO=45°；
设N点坐标为（m，n），则|m|=|n|；
当m=n时，N（m，m），代入抛物线的解析式中，得：
m=
m2+m+4，解得：m=-2
（正值舍去）；
∴N（-2
，-2
）；
当m=-n时，N（m，-m），代入抛物线的解析式中，
得：-m=
m2+m+4，
解得：m=2-2
（正值舍去）；
∴N（2-2
，2
-2）；
综上所述，存在符合条件的N点，且N点坐标为：N（-2
，-2
）或（2-2
，2
-2）．
点评：本题是二次函数的综合题，涉及的知识点有：二次函数解析式的确定、相似三角形的性质、三角形的外接圆、圆周角定理、图形面积的求法的重要知识点；
（2）题能够将面积问题转化为二次函数的最值问题是解得此题的关键；
（3）题中，能够判断出∠NOB的度数是关键所在，注意N点的坐标要分类讨论，不要漏解．
（2）欲求四边形CEDF的面积最大值，需将面积问题转化为二次函数的最值问题；可设出D点的横坐标，即可表示出DB、AD的长，易证得△BFD、△AED都与△ABC相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到△BFD和△DEA的面积表达式，而平行四边形CEDF的面积为△ABC、△BFD、△DEA的面积差，由此可得到关于平行四边形CEDF的面积和D点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形CEDF的面积最大值及对应的D点坐标．
（3）根据A、C的坐标，易知△AOC是等腰直角三角形，那么G为AC的中点，假设存在符合条件的N点，由于N在y轴左侧，那么∠NOB＜90°，若∠AMO=∠NOB，那么∠AMO必为锐角，即M在劣弧OC上；根据圆周角定理知∠AMD=∠OCA=45°，那么∠NOB=45°，即N点的横、纵坐标的绝对值相等，再联立抛物线的解析式，即可求得N点的坐标．
解答：解：（1）∵实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根，
∴m=4；
即A（4，0）、C（0，4），代入抛物线的解析式中，可得：
，解得
；∴抛物线的解析式为：y=
x2+x+4；（2）易知：B（-2，0），则AB=6，S△ABC=
AB•OC=12；设点D的坐标为：（d，0），则BD=d+2，AD=4-d；
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴
=；∵S△ABC=12，
∴S△BDF=
（d+2）2；同理可求得：S△ADE=
（4-d）2；∴S?CEDF=S△ABC-S△BDF-S△ADE
=12-
（d+2）2-（4-d）2=-
d2+d+=-（d-1）2+6；故当d=1，即D（1，0）时，四边形CEDF的面积最大，且最大值为6．
（3）如图：
由于A（4，0）、C（0，4），那么OA=OC=4，即△OAC是等腰直角三角形；点N在y轴左侧，那么∠NOB＜90°，
因此∠AMO也是锐角，即M在弧ACO上，由圆周角定理知：∠ACO=∠AMO=45°，
故∠NOB=∠AMO=45°；
设N点坐标为（m，n），则|m|=|n|；
当m=n时，N（m，m），代入抛物线的解析式中，得：
m=
m2+m+4，解得：m=-2（正值舍去）；∴N（-2
，-2）；当m=-n时，N（m，-m），代入抛物线的解析式中，
得：-m=
m2+m+4，解得：m=2-2
（正值舍去）；∴N（2-2
，2-2）；综上所述，存在符合条件的N点，且N点坐标为：N（-2
，-2）或（2-2，2-2）．点评：本题是二次函数的综合题，涉及的知识点有：二次函数解析式的确定、相似三角形的性质、三角形的外接圆、圆周角定理、图形面积的求法的重要知识点；
（2）题能够将面积问题转化为二次函数的最值问题是解得此题的关键；
（3）题中，能够判断出∠NOB的度数是关键所在，注意N点的坐标要分类讨论，不要漏解．
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