Question

如图，正△ABC内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为

 

cm²．

Answer 1

分析：根据题意作出辅助线，由等边三角形的性质作出△ABC的外心，再设出等边三角形的边长，由垂径定理得出BD=

BC

2

，再根据特殊角的三角函数即可求出BC及AD的长，根据S_阴影=S_圆-S_△ABC进行计算即可．

解答：解：分别过A、C作BC、AB边的垂线相交于点O，
由等边三角形的性质可知，点O即为△ABC的外心，连接OB则∠OBD=30°，
设正△ABC的边长为a，则

3

3

a=1，a=

3

，
故AD=AB•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

，
于是阴影部分的面积为π•1²-

1

2

×

3

×

3

2

=π•1²-

3

4

•（

3

）²=（π-

3 3

4

）（cm²）．
故答案为：π-

3 3

4

．

点评：本题考查的是正多边形和圆、特殊角的三角函数值及三角形的面积、圆的面积公式，作出辅助线，利用正三角形的性质得出△ABC的外心是解答此题的关键．