题目内容
如图,正△ABC内接于⊙O,D是⊙O上一点,∠DCA=15°,CD=10,则BC的长为( )
分析:作OE⊥CD于E,则E是CD的中点,连接OC,根据△ABC是正三角形可知OC平分∠ACB,即∠OCA=30°,故可得出△OCE是等腰直角三角形,根据勾股定理可求出OC的长,作OF⊥BC于F,则F是BC的中点,在Rt△OFC中,根据锐角三角函数的定义得出OF的长,再根据勾股定理求出CF的长,进而可得出结论.
解答:解:作OE⊥CD于E,则E是CD的中点,连接OC,
∵△ABC是正三角形,
∴OC平分∠ACB,即∠OCA=30°,
∵∠ACD=15°,
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=45°,
∴△OCE是等腰直角三角形,
∴OE=CE=
CD=5,
∴OC=
=
=5
,
作OF⊥BC于F,则F是BC的中点,
在Rt△OFC中,
∵∠OCF=30°,
∴OF=
OC=
,
∴CF=
=
=
,
∴BC=2FC=5
.
故选A.
∵△ABC是正三角形,
∴OC平分∠ACB,即∠OCA=30°,
∵∠ACD=15°,
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=45°,
∴△OCE是等腰直角三角形,
∴OE=CE=
1 |
2 |
∴OC=
OE2+CE2 |
52+52 |
2 |
作OF⊥BC于F,则F是BC的中点,
在Rt△OFC中,
∵∠OCF=30°,
∴OF=
1 |
2 |
5
| ||
2 |
∴CF=
OC2-OF2 |
(5
|
5
| ||
2 |
∴BC=2FC=5
6 |
故选A.
点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
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