题目内容

【题目】已知:二次函数的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴是直线x=1,且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O,

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)直线交y轴于D点,E为抛物线顶点.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α-β的值.

(3)在(2)问的前提下,P为抛物线对称轴上一点,且满足PA=PC,在y轴右侧的抛物线上是否存在点M,使得△BDM的面积等于PA2若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)这个二次函数的解析式为

(2)α-β=45°

(3)综上所述,存在符合条件的点M其坐标为.

【解析】分析: (1)根据二次函数的对称性可求得点B的坐标,将它们代入抛物线的解析式中,通过联立方程组求得待定系数的值,即可确定该抛物线的解析式;

(2)根据抛物线和直线BD的解析式,可求得C、D、E的坐标,即可得到∠OBC=∠OCB=45 °;所求角的度数差可转化为∠OBC的度数;在Rt△OBC中,已经求得∠OBC=∠OCB=45 °,由此得解;

(3)易知抛物线的对称轴方程,可设出点P的解析式,求出点P的坐标,进而得到PA的值,即可求得△BDM的面积.可用面积割补法求解.

本题解析:

(1)由题意,A(-1,0)

对称轴是直线x=1

∴B(3,0)

把A(-1,0),B(3,0)分别代入y=ax-2x+c得

解得

∴这个二次函数的解析式为y=x-2x-3

(2) ∵直线 与y轴交于D(0,1), ∴OD=1

由Y=X-2X-3=(x-1)-4得E91,-4)

连接CE过E作EF⊥y轴于F(如图1),则EF=1

∵抛物线y=x-2x-3与y轴交于C90,-3

∴OC=OB=3,CF=1=EF

(如图1)

∴∠OBC=∠OCB=∠FCE=45°,

BC=,CE=

∴∠BCE=90°=∠BOD, ,

∴△BOD∽△BCE

∴∠CBF=∠DBO

(3)设P(1,n)

∵PA=PC

∴PA=PC, 即(1+1)+(n-0)=(1+0)+(n+3)

解得n=-1

∴PA=(1+1)+(-1-0)=5

方法一:设存在符合条件的点M(m,m-2m-3),则m>0

①当M在直线BD上侧时,连接OM(如图1),

整理,得

解得 (舍去),

代入

②当M在直线BD下侧时,不妨叫连接 (如图1),

整理,得

解得 (舍去)

把m=2代入 得y=-3

综上所述,存在符合条件的点M其坐标为或(2,-3).

方法二:设存在符合条件的点,则m>0

①当M在直线BD上侧时,过M作MG∥y轴,交DB于G(如图2)

设D、B到MG距离分别为

, ,

整理,得

解得 (舍去),

代入y=m-2m-3得y=

∴M()

②当M在直线BD下侧时,不妨叫过∥y轴,交DB于 (如图2)

设D、B到距离分别为

整理,得3m-5m-2=0

解得 (舍去)

把m=2代入y=m-2m-3得y=-3

综上所述,存在符合条件的点M其坐标为或(2,-3)

方法三:①当M在直线BD上侧时,过M作MH∥BD交y轴于H,连接BH(如图3)

,即

∴DH=

∴H(0, )

∴直线BH解析式为y=

联立

M在y轴右侧, ∴M坐标为

②当M在直线BD下侧时,不妨叫∥BD,交y轴于,

连接B (如图3),同理可得D=

(0, )

∴直线 解析式为

联立

在y轴右侧,∴坐标为(2,-3)

综上所述,存在符合条件的点M,其坐标为或(2,-3).

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