Question

如图，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若CD=4，AC=4

5

，求垂线段OE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由CD为圆O的切线，得到OC与CD垂直，由AD与DC垂直，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出∠OAC=∠DAC，得证；
（2）由OA=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到O在线段AC的垂直平分线上，故只需再找一点可确定出垂线OE，分别以A和C为圆心，大于

1

2

AC长为半径，在AC上方交于一点，由此点与点O作一条直线，与AC交于E点，即可得到所求作的直线；
（3）在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，再由OE垂直于AC，利用垂径定理得到E为AC的中点，由AC的长求出AE的长，由一对直角相等，及第一问角平分线得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似，得到三角形AOE与三角形ACD相似，由相似得比例，将各自的值代入即可求出OE的长．

解答：解：（1）证明：连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）点O作线段AC的垂线OE，如图所示：

∴直线OE为所求作的直线；

（3）在Rt△ACD中，CD=4，AC=4

5

，
根据勾股定理得：AD=

AC2-CD2

=8，
∵OE⊥AC，
∴AE=EC=2

5

，
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴

AE

AD

=

EO

DC

，
∴OE=

AE•DC

AD

=

2 5 ×4

8

=

5

，即垂线段OE的长为

5

．

点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，尺规作图，线段垂直平分线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及垂径定理，属于圆的综合题，熟练掌握性质及定理是解本题关键．