题目内容

在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(1)∵抛物线y=ax2+bx+2过点A(-3,0),B(1,0),
0=9a-3b+2
0=a+b+2

解得
a=-
2
3
b=-
4
3

∴二次函数的关系解析式为y=-
2
3
x2-
4
3
x+2;

(2)存在.
∵如图1所示,设点P坐标为(m,n),则n=-
2
3
m2-
4
3
m+2.
连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.
则PM=-
2
3
m2-
4
3
m+2,PN=-m,AO=3.
∵当x=0时,y=-
2
3
×0-
4
3
×0+2=2,
∴OC=2,
∴S△PAC=S△PAO+S△PCO-S△ACO
=
1
2
AO•PM+
1
2
CO•PN-
1
2
AO•CO
=
1
2
×3×(-
2
3
m2-
4
3
m+2)+
1
2
×2×(-m)-
1
2
×3×2
=-m2-3m
∵a=-1<0
∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值
∴当m=-
b
2a
=-
3
2
时,S△PAC有最大值.
∴n=-
2
3
m2-
4
3
m+2=-
2
3
×(-
3
2
2-
4
3
×(-
3
2
)+2=
5
2

∴存在点P(-
3
2
5
2
),使△PAC的面积最大.


(3)如图2所示,以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,则点Q1,Q2,Q3,Q4为符合题意要求的点.过Q1点作Q1D⊥y轴于点D,过点Q2作Q2E⊥x轴于点E,
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
在△Q1CD与△CBO中,
∠1=∠3
Q1C=BC
∠2=∠4

∴△Q1CD≌△CBO,
∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,
∴OD=OC+CD=3,
∴Q1(2,3);
同理可得Q4(-2,1);
同理可证△CBO≌△BQ2E,
∴BE=OC=2,Q2E=OB=1,
∴OE=OB+BE=1+2=3,
∴Q2(3,1),
同理,Q3(-1,-1),
∴存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(-1,-1),Q4(-2,1).
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