Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴的一个交点是A，与y轴的交点是B，且OA、OB（OA＜OB）的长是方程x²-6x+5=0的两个实数根．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求出此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（3）求出此抛物线与x轴的另一个交点C的坐标；
（4）在直线BC上是否存在一点P，使四边形PDCO为梯形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵x²-6x+5=0的两个实数根为x₁=1，x₂=5
OA、OB（OA＜OB）的长是方程x²-6x+5=0的两个实数根
∴OA=1，OB=5
∴A（1，0），B（0，5）（2分）

（2）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴的一个交点是A，与y轴的交点是B
∴

-1+b+c=0 c=5

解得：

b=-4 c=5

∴所求二次函数的解析式为：y=-x²-4x+5（3分）
顶点坐标为：D（-2，9）（4分）

（3）此抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（-5，0）（5分）

（4）直线CD的解析式为：
y=3x+15（6分）
直线BC的解析式为：
y=x+5（7分）
∵以CD为底，则OP∥CD
直线OP的解析式为：y=3x
于是有

y=x+5 y=3x

解得：

x= 5 2 y= 15 2

∴点P的坐标为（

5

2

，

15

2

)（8分）
②若以OC为底，则DP∥CO
直线DP的解析式为：y=9
于是有

y=x+5 y=9

解得：

x=4 y=9

∴点P的坐标为（4，9）（9分）
∴在直线BC上存在点P，使四边形PDCO为梯形且P点坐标为（

5

2

，

15

2

)或（4，9）（10分）