题目内容
如图,矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm,AB在直线L上.依次以B,C′,D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°,这样点A走过的曲线依次为
,,,其中
交CD于点P.

(1)求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长;
(2)求
的长;
(3)求图中

部分的面积.
(4)求图中

部分的面积.
分析:(1)由于旋转得到的两个图形全等,求出矩形ABCD的对角线就是矩形A′BC′D′的对角线,利用勾股定理求解即可;
(2)直接利用弧长公式计算就可以了,圆心角是90°;
(3)连接A″C′,就会得到一个以半径A′C′的扇形,利用面积割补,可看出阴影部分面积就等于扇形面积.
(4)连接BP,利用所给的矩形的边长,可得∠CPB的正弦值,故可求∠CPB,再利用平行可得到∠APB的度数,而阴影面积就等于扇形ABP与Rt△BPC的面积之和.因此可求得所求的面积.
解答:解:(1)由旋转得A′C′=AC=
==
(cm).
(2)
的长为
=π(cm).

(3)连接A″C′,
由旋转的性质,△A′D′C′≌△A″D″C′,
故所求的面积S=S
扇形C′A′A′′=
=
π×(
)
2=
π(cm
2).
(4)连接BP,在Rt△BCP中,BC=1,BP=BA=2.
∴∠BPC=30°,CP=
,
∴∠ABP=30°,
∴T=S
扇形ABP+S
△PBC=
+
×1×
=
+
(cm
2).
点评:本题考查了旋转的性质,勾股定理,弧长、扇形公式计算,反三角函数等知识.有一定难度.
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