Question

【题目】如图，已知抛物线y1＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴，一次函数y2＝kx+b经过B、C两点，连接AC．

（1）△ABC是　 　三角形；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）结合图象，写出满足y1＞y2时，x的取值范围　 　．

Answer 1

【答案】（1）直角;（2）P（，）;（3）0＜x＜4.

【解析】

（1）求出点A、B、C的坐标分别为：（-1，0）、（4，0）、（0，2），则AB2=25，AC2=5，BC2=20，即可求解；

（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，即可求解；

（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜4．

解：（1）当x=0时，

y1＝0+0+2=2，

当y=0时，

﹣x2+x+2=0，

解得

x1=-1，x2=4，

∴点A、B、C的坐标分别为：(﹣1，0)、(4，0)、(0，2)，

则AB2＝25，AC2＝5，BC2＝20，

故AB2＝AC2+BC2，

故答案为：直角；

（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：

，

解得

，

∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，

抛物线的对称轴为直线：x＝，

点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，

当x＝时，y＝×+2＝，

故点P(，)；

（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜4，

故答案为：0＜x＜4．