题目内容
课本中,把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题:
(1)将一张标准纸ABCD(AB<BC)对开,如图(1)所示,所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明.
(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB<BC)进行如下操作:
第一步:沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上点F处,折痕为AE(如图(2)甲);
第二步:沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上点N处,折痕为DG(如图(2)乙),此时E点恰好落在AE边上的点M处;
第三步:沿直线DM折叠(如图(2)丙),此时点G恰好与N点重合.
请你探究:矩形纸片ABCD是否是一张标准纸?请说明理由.
(3)不难发现:将一张标准纸按如图(3)一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB=1,BC=,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少?探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.
解析:
分析:(1)根据==2·==,得出矩形纸片ABEF也是标准纸; (2)利用已知得出△ADG是等腰直角三角形,得出==,即可得出答案; (3)分别求出每一次对折后的周长,进而得出变化规律求出即可. 解答:解:(1)是标准纸, 理由如下: ∵矩形ABCD是标准纸, ∴=, 由对开的含义知:AF=BC, ∴==2·==, ∴矩形纸片ABEF也是标准纸. (2)是标准纸,理由如下: 设AB=CD=a,由图形折叠可知:DN=CD=DG=a, DG⊥EM, ∵由图形折叠可知:△ABE≌△AFE, ∴∠DAE=∠BAD=45°, ∴△ADG是等腰直角三角形, ∴在Rt△ADG中,AD==a, ∴==, ∴矩形纸片ABCD是一张标准纸; (3)对开次数: 第一次,周长为:2(1+)=2+, 第二次,周长为:2(+)=1+, 第三次,周长为:2(+)=1+, 第四次,周长为:2(+)=, 第五次,周长为:2(+)=, 第六次,周长为:2(+)=, … ∴第5次对开后所得标准纸的周长是:, 第2012次对开后所得标准纸的周长为:. 点评:此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用,根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键. |
提示:
考点:翻折变换(折叠问题);全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;矩形的性质;图形的剪拼. |