题目内容

（2012•衢州）课本中，把长与宽之比为
2
的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：
（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．
（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．
（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=
2
，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．
…
分析：（1）根据
AB
AF
=
AB
1
2
BC
=2•
AB
BC
=
2
2
=
2
，得出矩形纸片ABEF也是标准纸；
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出
AD
AB
=
2
a
a
=
2
，即可得出答案；
（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．
解答：解：（1）是标准纸，
理由如下：
∵矩形纸片ABCD是标准纸，
∴
BC
AB
=
2
，
由对开的含义知：AF=
1
2
BC，
∴
AB
AF
=
AB
1
2
BC
=2•
AB
BC
=
2
2
=
2
，
∴矩形纸片ABEF也是标准纸．

（2）是标准纸，理由如下：
设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，
DG⊥EM，
∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，
∴∠DAE=
1
2
∠BAD=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴在Rt△ADG中，AD=
AG2+DG2
=
2
a，
∴
AD
AB
=
2
a
a
=
2
，
∴矩形纸片ABCD是一张标准纸；

（3）
对开次数：
第一次，周长为：2（1+
1
2
2
）=2+
2
，
第二次，周长为：2（
1
2
+
1
2
2
）=1+
2
，
第三次，周长为：2（
1
2
+
1
4
2
）=1+
2
2
，
第四次，周长为：2（
1
4
+
1
4
2
）=
1+
2
2
，
第五次，周长为：2（
1
4
+
1
8
2
）=
2+
2
4
，
第六次，周长为：2（
1
8
+
1
8
2
）=
1+
2
4
，
…
∴第5次对开后所得标准纸的周长是：
2+
2
4
，
第2012次对开后所得标准纸的周长为：
1+
2
21005
．
点评：此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键．
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