题目内容
已知抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个不同交点A(x1,0)、B(x2,0)并且x1<x2,x12+x22=4,①求这条抛物线的解析式;
②设抛物线的顶点为C,P是抛物线上一点,且∠PAC=90°,求P点坐标及△PAC内切圆的面积.
分析:(1)由根与系数的关系得出x1+x2=2,x1•x2=m,把已知转化成含有以上两式的形式代入即可求出m,即可求出答案;
(2)求出A、B、C的坐标,设P的坐标是(x,x2-2x),根据勾股定理求出x,即得到P的坐标,根据勾股定理求出PA、AC、PC的值,设△PAC的内切圆的半径是r,根据三角形的面积公式得出S△PAC=
PA×AC=
PA•r+
PC•r+
AC•r,代入求出r,即可求出答案.
(2)求出A、B、C的坐标,设P的坐标是(x,x2-2x),根据勾股定理求出x,即得到P的坐标,根据勾股定理求出PA、AC、PC的值,设△PAC的内切圆的半径是r,根据三角形的面积公式得出S△PAC=
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解答:解:(1)当y=0时,x2-2x+m=0,
由根与系数的关系得:x1+x2=2,x1•x2=m,
∵x12+x22=4,
∴(x1+x2)2-2x1x2=4,
∴4-2m=4,
∴m=0,
即抛物线的解析式是y=x2-2x,
答:这条抛物线的解析式是y=x2-2x.
(2)解:y=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1,
∴A(0,0),B(2,0),C(1,-1),
设P的坐标是(x,x2-2x),
由勾股定理得:PA2+AC2=PC2,
∴x2+(x2+2x)2+12+12=(x-1)2+(x2-2x+1)2,
解得:x1=0(因为此时与A重合,舍去),x2=3,
x2-2x=3,
∴P的坐标是(3,3),
由勾股定理求出AC=
,PA=3
,PC=2
,
设△PAC的内切圆的半径是r,
根据三角形的面积公式得:S△PAC=
PA×AC=
PA•r+
PC•r+
AC•r,
∴
×3
×
=
×3
×r+
×2
×r+
×
×r,
解得:r=2
-
,
∴圆的面积是πr2=π(2
-
)2=13π-4
π,
答:P点坐标是(3,3),△PAC内切圆的面积是13π-4
π.
由根与系数的关系得:x1+x2=2,x1•x2=m,
∵x12+x22=4,
∴(x1+x2)2-2x1x2=4,
∴4-2m=4,
∴m=0,
即抛物线的解析式是y=x2-2x,
答:这条抛物线的解析式是y=x2-2x.
(2)解:y=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1,
∴A(0,0),B(2,0),C(1,-1),
设P的坐标是(x,x2-2x),
由勾股定理得:PA2+AC2=PC2,
∴x2+(x2+2x)2+12+12=(x-1)2+(x2-2x+1)2,
解得:x1=0(因为此时与A重合,舍去),x2=3,
x2-2x=3,
∴P的坐标是(3,3),
由勾股定理求出AC=
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设△PAC的内切圆的半径是r,
根据三角形的面积公式得:S△PAC=
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∴
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解得:r=2
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∴圆的面积是πr2=π(2
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答:P点坐标是(3,3),△PAC内切圆的面积是13π-4
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点评:本题主要考查对解一元一次方程,根与系数的关系,三角形的面积,三角形的内切圆与内心,勾股定理,二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
练习册系列答案
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A、4 | B、8 | C、-4 | D、16 |