题目内容
【题目】如图,在直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,点D在边AB上,以CD为折痕将△CBD折叠得到△CPD,CP与边AB交于点E,若△DEP为直角三角形,则BD的长是_____
【答案】或2﹣2.
【解析】
分两种情形:①如图1中,当∠EDF=90°时,作CH⊥AB于H.只要证明CH=DH,即可解决问题;②如图2中,当∠DEF=90°时,设DE=x,则EF=2x,DF=BD=x,构建方程即可解决问题.
如图1中,当∠EDF=90°时,作CH⊥AB于H.
在Rt△ACB中,∵AC=2,BC=4,∴AB==2,∴CH==.
∵∠ACB=∠AHC=90°,∴∠ACH+∠BCH=90°,∠BCH+∠B=90°,∴∠ACH=∠B=∠F.
∵CH∥DF,∴∠F=∠HCE,∴∠ACH=∠HCE,∠DCE=∠DCB,∴∠HCD=45°,∴HC=HD=.
∵AH==,∴BD=AB﹣AH﹣DH=2﹣=.
如图2中,当∠DEF=90°时,设DE=x,则EF=2x,DF=BD=x.
∵AE+DE+BD=2,∴+x+x=2,∴x=2﹣,∴BD=x=2﹣2.
综上所述:BD的长为或2﹣2.
故答案为:或2﹣2.
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