题目内容
【题目】对于一个各数位上的数字均不为
的三位自然数
，将它各个数位上的数字平方后再取其个位，得到三个新的数字；再将这三个新数字重新组合成三位数
，当
的值最小时，称此时的为自然数的“理想数”，并规定：
，例如
，各数字平方后取个位分别为
，
，
，再重新组合为
，
，
，
，
，
，因为
最小，所以是原三位数的理想数，此时
(1)求：
．
(2)若有三位自然数
，满足有两个数位上的数字相同且不等于，另一个数位上的数字为，求证：
．
【答案】（1）13；（2）1.
【解析】
（1）先确定出三位数236的各位数字平方后的各位数字，进而根据“理想数”的定义，即可得出结论；
（2）设出三位数p的两个相同数位上的数的平方的个位数字为b，进而得出自然数p的“理想数”，即可得出结论．
解：（1）236，各数字平方后取个位分别为4，9，6，
重新组合为496，469，946，964，649，694，
而|6+2×4-9|=5最小，
所以649是原三位数236的“理想数”，
此时F（236）=（6-9）2+4=13；
（2）根据题意设三位数p的两个相同数位上的数的平方的个位数字为b，
∴重新组合的三位数为
，
，
而|b+1×2-b|=1最小，
∴是三位自然数p的“理想数”，∴F（）=（b-b）2+1=1．
【题目】背景阅读：
意大利著名数学家裴波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为裴波那契数列.
实践操作：
（1）写出裴波那契数列的前10个数；
（2）裴波那契数列的前2017个数中，有多少个奇数？
（3）现以这组数的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形系列：再分别从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形记为①、②、③、④、⑤……
（i）通过计算相对应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）
序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | …… |
周长 | 6 | 10 | …… |
（ii）若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形的面积和周长.
