Question

（2012•东营）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，
（1）求证：OD∥BE；
（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接OE，由AM和BN是它的两条切线，易得∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，由切线长定理，可得∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，∠AOD=∠ABE，根据同位角相等，两直线平行，即可证得OD∥BE；
（2）由（1），易证得∠EOD+∠EOC=90°，然后利用勾股定理，即可求得CD的长．

解答：（1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，
∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，…（2分）
∴∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，
∵∠ABE=

1

2

∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE； …（5分）

（2）由（1）得：∠AOD=∠EOD=

1

2

∠AOE，
同理，有：∠BOC=∠EOC=

1

2

∠BOE，
∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°，
∴∠EOD+∠EOC=90°，
∴△DOC是直角三角形，…（7分）
∴CD=

OD2+OC2

=

36+64

=10（cm）．…（9分）

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、平行线的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．