题目内容
(2012•东营)如图,一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y=
的图象相交于C,D两点,分
别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.有下列四个结论:
①△CEF与△DEF的面积相等;
②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;
④AC=BD.
其中正确的结论是( )
4 |
x |
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①△CEF与△DEF的面积相等;
②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;
④AC=BD.
其中正确的结论是( )
分析:设D(x,
),得出F(x,0),根据三角形的面积公式求出△DEF的面积,同法求出△CEF的面积,即可判断①;根据面积相等,推出边EF上的高相等,推出CD∥EF,即可证出△AOB∽△FOE,可判断②;算出C、D点坐标,可得到DF=CE,再证出∠DCE=∠FDA=45°,根据全等三角形的判定判断③即可;证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF,可推出BD=AC,判断④即可.
4 |
x |
解答:解:①设D(x,
),则F(x,0),
由图象可知x>0,
∴△DEF的面积是:
×|
|×|x|=2,
设C(a,
),则E(0,
),
由图象可知:
<0,a>0,
△CEF的面积是:
×|a|×|
|=2,
∴△CEF的面积=△DEF的面积,
故①正确;
②△CEF和△DEF以EF为底,则两三角形EF边上的高相等,
故EF∥CD,
∴FE∥AB,
∴△AOB∽△FOE,
故②正确;
③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=
的图象的交点,
∴x+3=
,
解得:x=-4或1,
经检验:x=-4或1都是原分式方程的解,
∴D(1,4),C(-4,-1),
∴DF=4,CE=4,
∵一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,
∴A(-3,0),B(0,3),
∴∠ABO=∠BAO=45°,
∵DF∥BO,AO∥CE,
∴∠BCE=∠BAO=45°,∠FDA=∠OBA=45°,
∴∠DCE=∠FDA=45°,
在△DCE和△CDF中
,
∴△DCE≌△CDF(SAS),
故③正确;
④∵BD∥EF,DF∥BE,
∴四边形BDFE是平行四边形,
∴BD=EF,
同理EF=AC,
∴AC=BD,
故④正确;
正确的有4个.
故选C.
4 |
x |
由图象可知x>0,
∴△DEF的面积是:
1 |
2 |
4 |
x |
设C(a,
4 |
a |
4 |
a |
由图象可知:
4 |
a |
△CEF的面积是:
1 |
2 |
4 |
a |
∴△CEF的面积=△DEF的面积,
故①正确;
②△CEF和△DEF以EF为底,则两三角形EF边上的高相等,
故EF∥CD,
∴FE∥AB,
∴△AOB∽△FOE,
故②正确;
③∵C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=
4 |
x |
∴x+3=
4 |
x |
解得:x=-4或1,

经检验:x=-4或1都是原分式方程的解,
∴D(1,4),C(-4,-1),
∴DF=4,CE=4,
∵一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,
∴A(-3,0),B(0,3),
∴∠ABO=∠BAO=45°,
∵DF∥BO,AO∥CE,
∴∠BCE=∠BAO=45°,∠FDA=∠OBA=45°,
∴∠DCE=∠FDA=45°,
在△DCE和△CDF中
|
∴△DCE≌△CDF(SAS),
故③正确;
④∵BD∥EF,DF∥BE,
∴四边形BDFE是平行四边形,
∴BD=EF,
同理EF=AC,
∴AC=BD,
故④正确;
正确的有4个.
故选C.
点评:本题考查了平行四边形的性质和判定,三角形的面积,全等三角形的判定,相似三角形的判定,检查同学们综合运用定理进行推理的能力,关键是需要同学们牢固掌握课本知识.
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