Question

M是弧ABC的中点，弦BC＞AB，MF⊥BC于F，则

1. A.
   AB+BF=FC
2. B.
   AB+BF＞FC
3. C.
   AB+BF＜FC
4. D.
   以上三种情况都有可能

Answer 1

A
分析：延长CB到D，使BD=BA，连MD，MB，MA，MC，由M是弧ABC的中点，得到弧MA=弧MC，MA=MC，而∠ABM=（弧AC+弧MC），
∠DBM=∠BMC+∠C=（弧BA+弧AC）+弧BM=（弧AC+弧AM），得到∠ABM=∠DBM，易得△BDM≌△BAM，得到MD=MA，则MD=MC，
所以有FC=FD=FB+BD=FB+AB．
解答：解：如图，延长CB到D，使BD=BA，连MD，MB，MA，MC，
∵M是弧ABC的中点，
∴弧MA=弧MC，MA=MC，
∵∠ABM=（弧AC+弧MC），
∠DBM=∠BMC+∠C=（弧BA+弧AC）+弧BM=（弧AC+弧AM），
∴∠ABM=∠DBM，
而BD=BA，BM公共，
∴△BDM≌△BAM，
∴MD=MA，
∴MD=MC，
而MF⊥BC，
∴FC=FD=FB+BD=FB+AB．
故选A．
点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的性质．