题目内容

【题目】已知:如图1,四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).

(1)四边形EFGH的形状是 ,证明你的结论.

(2)如图2,请连接四边形ABCD的对角线AC与BD,当AC与BD满足 条件时,四边形EFGH是矩形;证明你的结论.

(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形?说明理由.

【答案】(1)四边形EFGH是平行四边形;(2)见解析;(3)平行四边形;互相垂直.

【解析】

试题分析:(1)连接BD,根据三角形的中位线定理得到EHBD,EH=BD,FGBD,FG=BD,推出,EHFG,EH=FG,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形;

(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,可知当四边形ABCD的对角线满足ACBD的条件时,四边形EFGH是矩形;

(3)菱形的中点四边形是矩形.根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EHBD,EFAC,再根据矩形的每一个角都是直角可得1=90°,然后根据平行线的性质求出3=90°,再根据垂直定义解答.

解:(1)四边形EFGH的形状是平行四边形.理由如下:

如图1,连结BD.

E、H分别是AB、AD中点,

EHBD,EH=BD,

同理FGBD,FG=BD,

EHFG,EH=FG,

四边形EFGH是平行四边形;

(2)当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时,四边形EFGH是矩形.理由如下:

如图2,连结AC、BD.

E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点,

EHBD,HGAC,

ACBD,

EHHG,

四边形EFGH是平行四边形,

平行四边形EFGH是矩形;

(3)菱形的中点四边形是矩形.理由如下:

如图3,连结AC、BD.

E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点,

EHBD,HGAC,FGBD,EH=BD,FG=BD,

EHFG,EH=FG,

四边形EFGH是平行四边形.

四边形ABCD是菱形,

ACBD,

EHBD,HGAC,

EHHG,

平行四边形EFGH是矩形.

故答案为:平行四边形;互相垂直.

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