题目内容
【题目】已知:如图1,四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).
(1)四边形EFGH的形状是 ,证明你的结论.
(2)如图2,请连接四边形ABCD的对角线AC与BD,当AC与BD满足 条件时,四边形EFGH是矩形;证明你的结论.
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形?说明理由.
【答案】(1)四边形EFGH是平行四边形;(2)见解析;(3)平行四边形;互相垂直.
【解析】
试题分析:(1)连接BD,根据三角形的中位线定理得到EH∥BD,EH=BD,FG∥BD,FG=BD,推出,EH∥FG,EH=FG,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形;
(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时,四边形EFGH是矩形;
(3)菱形的中点四边形是矩形.根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD,EF∥AC,再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1=90°,然后根据平行线的性质求出∠3=90°,再根据垂直定义解答.
解:(1)四边形EFGH的形状是平行四边形.理由如下:
如图1,连结BD.
∵E、H分别是AB、AD中点,
∴EH∥BD,EH=BD,
同理FG∥BD,FG=BD,
∴EH∥FG,EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形;
(2)当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时,四边形EFGH是矩形.理由如下:
如图2,连结AC、BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点,
∴EH∥BD,HG∥AC,
∵AC⊥BD,
∴EH⊥HG,
又∵四边形EFGH是平行四边形,
∴平行四边形EFGH是矩形;
(3)菱形的中点四边形是矩形.理由如下:
如图3,连结AC、BD.
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点,
∴EH∥BD,HG∥AC,FG∥BD,EH=BD,FG=BD,
∴EH∥FG,EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵EH∥BD,HG∥AC,
∴EH⊥HG,
∴平行四边形EFGH是矩形.
故答案为:平行四边形;互相垂直.