题目内容
(2008•上海模拟)已知:在正方形ABCD中,M是边BC的中点(如图所示),E是边AB上的一个动点,MF⊥ME,交射线CD于点F,AB=4,BE=x,CF=y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.
(2)当点F在边CD上时,四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化?请说明理由.
(3)当DF=1时,求点A到直线EF的距离.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.
(2)当点F在边CD上时,四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化?请说明理由.
(3)当DF=1时,求点A到直线EF的距离.

分析:(1)证△BEM∽△CMF,推出
=
,代入求出xy=4即可;
(2)根据勾股定理求出x+y=EF,代入即可求出答案;
(3)分为两种情况:①F在线段CD上时,求出y=3,x=
,EF=x+y═
,过A作AN⊥EF于N,根据面积公式求出即可;
①当F在CD的延长线上时,求出y=5,x=
,EF=x+y=
,过A作AN⊥EF于N,根据面积公式求出即可.
BE |
CM |
BM |
CF |
(2)根据勾股定理求出x+y=EF,代入即可求出答案;
(3)分为两种情况:①F在线段CD上时,求出y=3,x=
4 |
3 |
13 |
3 |
①当F在CD的延长线上时,求出y=5,x=
4 |
5 |
29 |
5 |
解答:
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°,
∵EM⊥FM,
∴∠EMF=90°,
∴∠BEM+∠BME=90°,∠BME+∠CMF=90°,
∴∠BEM=∠FMC,
∴△BEM∽△CMF,
∴
=
,
∵BM=CM=
BC=
×4=2,BE=e,CF=y,
∴xy=4
x的取值范围是0<x≤4;
(2)不变,
理由是:∵根据勾股定理得:EM2=BE2+BM2=x2+22=x2+4,FM2=y2+4,
∴EF2=EM2+FM2=x2+4+y2+4=x2+y2+8,
∵xy=4,
∴EF2=(x+y)2,
∴EF=x+y,
∴四边形AEFD的周长是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=12.
(3)解:分为两种情况:①F在线段CD上时,如图备用图,
∵DC=AB=AD=4,DF=1,
∴y=4-1=3,x=
=
,EF=x+y=3+
=
,
过A作AN⊥EF于N,
则S△AEF=S梯形AEFD-S△ADF=
(3+4-
)×4-
×4×1=
EF×AN,
∴AN=
;
②当F在CD的延长线上时,如图,
∵DC=AB=AD=4,DF=1,
∴y=4+1=5,x=
,EF=x+y=
,
过A作AN⊥EF于N,
则S△AEF=S正方形ABCD+S△ADF-S梯形BEFC=4×4+
×4×1-
×(
+5)×4=
EF×AN,
∴AN=
.

∴∠B=∠C=90°,
∵EM⊥FM,
∴∠EMF=90°,
∴∠BEM+∠BME=90°,∠BME+∠CMF=90°,
∴∠BEM=∠FMC,
∴△BEM∽△CMF,
∴
BE |
CM |
BM |
CF |
∵BM=CM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴xy=4
x的取值范围是0<x≤4;
(2)不变,
理由是:∵根据勾股定理得:EM2=BE2+BM2=x2+22=x2+4,FM2=y2+4,
∴EF2=EM2+FM2=x2+4+y2+4=x2+y2+8,
∵xy=4,
∴EF2=(x+y)2,
∴EF=x+y,
∴四边形AEFD的周长是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=12.
(3)解:分为两种情况:①F在线段CD上时,如图备用图,
∵DC=AB=AD=4,DF=1,
∴y=4-1=3,x=
4 |
y |
4 |
3 |
4 |
3 |
13 |
3 |
过A作AN⊥EF于N,
则S△AEF=S梯形AEFD-S△ADF=
1 |
2 |
4 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AN=
8 |
3 |

∵DC=AB=AD=4,DF=1,
∴y=4+1=5,x=
4 |
5 |
29 |
5 |
过A作AN⊥EF于N,
则S△AEF=S正方形ABCD+S△ADF-S梯形BEFC=4×4+
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
5 |
1 |
2 |
∴AN=
29 |
64 |
点评:本题考查了三角形面积、梯形面积、正方形面积,正方形性质,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.

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