Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE，AE=10．在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP，列出关系式．

解答：证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
由作法得∠AEP=90°，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AO

AE

，则AE²=A0•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AO=

1

2

AC，
∴AE²=

1

2

AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．

点评：本题主要考查翻折变换的折叠问题，还涉及到的知识点有全等三角形的判定与性质．