Question

BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，易证FG=

1

2

（AB+BC+AC）．
（1）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，FG与△ABC三边有怎样的数量关系？画出图形并说明理由；
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角和外角平分线，FG与△ABC三边有怎样的数量关系？画出图形并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，再由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，进一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG即可得出答案；
（2）与（1）的方法类同，即可证出答案．

解答：解：（1）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF
∴MB=AB
∴AF=MF
同理：CN=AC，AG=NG，
∴FG=

1

2

MN，
=

1

2

（BM+CN-BC），
=

1

2

（AB+AC-BC），
∴线段FG与△ABC三边的数量关系是FG=

1

2

（AB+AC-BC）；

（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
同样由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG
∴FG=

1

2

MN，
=

1

2

（CN+BC-BM），
=

1

2

（AC+BC-AB）．
∴线段FG与△ABC三边的数量关系是FG=

1

2

（AC+BC-AB）．

点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线转化成三角形的中位线．