Question

（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？
即：FG=

 

（AB+BC+AC）
（直接写出结果即可）

（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是

 

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Answer 1

分析：（1）延长AG交BC于N，延长AF交BC于M，根据AF⊥BD，AG⊥CE，求证Rt△AGC≌Rt△NGC，可得AC=CN，AG=NG，同理可证：AF=FM，AB=BM．然后得出GF是△AMN的中位线即可．
（2）根据GF是△AMN的中位线，利用AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM，利用等量代换即可．
（3）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，即可求得GF=

1

2

（AC+BC-AB）

解答：（1）FG=

1

2

（AB+BC+AC）；

（2）答：FG=

1

2

（AB+AC-BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴△AGC≌Rt△NGC
∴AC=CN，AG=NG
同理可证：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF=

1

2

MN．
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM
∴AB+AC-BC=MN
∴GF=

1

2

MN=

1

2

（AB+AC-BC）；

（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=

1

2

（AC+BC-AB）．

点评：此题主要考查三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质等知识点，有一定的拔高难度，是一道典型的题目