题目内容
学习数学应该积极地参加到现实的、探索性的数学活动中去，努力地成为学习的主人．如图，请你探究：随着D点位置的变化，∠BDC与∠A的大小关系．（①、②问用“＞”表示其关系，③、④、⑤问用“=”表示其关系）
（1）如图①，点D在AC上（不同于A、C两点），∠BDC与∠A的关系是______；
（2）如图②，点D在△ABC内部，∠BDC与∠A的关系是______；
（3）如图③，点D是∠ABC，∠ACB平分线的交点，此时∠BDC与∠A的关系是______；
（4）如图④，点D是∠ABC的平分线和∠ACB外角平分线的交点，∠BDC与∠A的关系是______；
（5）如图⑤，点D是∠ABC与∠ACB两外角平分线的交点，∠BDC与∠A的关系是______．
解：（1）根据外角的性质得出，
∠C＞∠A，
（2）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠A＜∠BDC，
（3）∵BD是∠ABC，∠ACB平分线，
∴∠DBC=
∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D+∠ABC+∠ACB=180°，
∠D=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．
（4）∵∠A=180°-∠ABC-∠BCA，
∠D=180°-∠BDC-∠BCD，
∵∠BCD=∠ABC+∠A+∠BCA，
∴∠BDC=∠A．
（5）根据外角的性质以及角平分线的性质即可得出：
∠BDC=90°-∠A．
故答案分别为：（1）∠C＞∠A，（2）∠A＜∠BDC，（3）∠D=90°+∠A．
（4）∠BDC=∠A．（5）∠BDC=90°-∠A．
分析：（1）利用三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，可得到答案；
（2）根据∠ABC＞∠BDC，可以得出答案；
（3）根据角平分线的性质可以得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，进而得出∠D=90°+∠A．
（4）根据∠A=180°-∠ABC-∠BCA，∠D=180°-∠BDC-∠BCD，分别得出∠D与∠A的关系；
（5）根据外角的性质以及（4）的方法以得出，∠BDC与∠A的关系．
点评：此题主要考查了三角形的外角与内角的关系，内角和定理以及角平分线的性质等知识，熟练地应用角平分线的性质是解决问题的关键．
∠C＞∠A，
（2）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠A＜∠BDC，
（3）∵BD是∠ABC，∠ACB平分线，
∴∠DBC=
∠ABC，∠DCB=∠ACB，∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D+
∠ABC+∠ACB=180°，∠D=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．（4）∵∠A=180°-∠ABC-∠BCA，
∠D=180°-
∠BDC-∠BCD，∵∠BCD=
∠ABC+∠A+∠BCA，∴∠BDC=
∠A．（5）根据外角的性质以及角平分线的性质即可得出：
∠BDC=90°-
∠A．故答案分别为：（1）∠C＞∠A，（2）∠A＜∠BDC，（3）∠D=90°+
∠A．（4）∠BDC=
∠A．（5）∠BDC=90°-∠A．分析：（1）利用三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，可得到答案；
（2）根据∠ABC＞∠BDC，可以得出答案；
（3）根据角平分线的性质可以得出∠DBC=
∠ABC，∠DCB=∠ACB，进而得出∠D=90°+∠A．（4）根据∠A=180°-∠ABC-∠BCA，∠D=180°-
∠BDC-∠BCD，分别得出∠D与∠A的关系；（5）根据外角的性质以及（4）的方法以得出，∠BDC与∠A的关系．
点评：此题主要考查了三角形的外角与内角的关系，内角和定理以及角平分线的性质等知识，熟练地应用角平分线的性质是解决问题的关键．
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