题目内容
学习数学应该积极地参加到现实的、探索的数学活动中去，努力地成为学习的主人．下面，请你探究：随着P点位置的变化，∠BPC与∠A的大小关系．（1）、（2）问用“＞”表示其关系，（3）、（4）、（5）用“=”表示其关系．
1如图（1），点P在AC上（不同于A、C两点），∠BPC与∠A的关系是________，用一句话说出你判断的依据________；
②如图（2），点P在△ABC内部，∠BPC与∠A的关系是________；
③如图（3），点P是∠ABC、∠ACB平分线的交点，此时∠BPC与∠A的关系是________；
④如图（4），点P是∠ABC平分线和∠ACB外角平分线的交点，∠BPC与∠A的关系是________；
⑤如图（5），点P是∠ABC与∠ACB两外角平分线的交点，∠BPC与∠A的关系是________；
⑥在上述五种情形中，选择其中一种情形给予说明理由．
⑦问题解决：
如图（6），在△ABC中，∠C=90°，点P是∠ABC平分线和∠BAC外角平分线的交点，则∠P的度数为________．
解：①∠BPC＞∠A．
②∠BPC＞∠A．
③∠BPC=
（∠A+180°）．
④∠BPC=∠A．
⑤∠BPC=（180°-∠A）．
⑥第①题，∠BPC＞∠A．
∵如图（1）∠BPC是△APB的外角，
∴∠BPC=∠A+∠ABP．（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）
所以∠BPC＞∠A．
故答案为：∠BPC＞∠A，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
⑦已知点P是∠ABC平分线和∠BAC外角平分线的交点，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（角平分线的性质）
∠1+∠2是△ABC的外角，
∴∠1+∠2=∠C+∠3+∠4（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和），
∴2∠2=90°+2∠3（等量代换）
∴∠2=45°+∠3--------①
如图∠2为△APB的外角，
∴∠2=∠P+∠3----------②（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和），
①②等量代换得：
∠P+∠3=45°+∠3，
所以，∠P=45°．
故答案为：45°．
分析：由已知，此题是根据三角形内角和定理及三角形的外角性质判断分析解答各题的．
点评：此题考查的知识点是三角形内角和定理与三角形外角的性质．解答此题的关键是根据三角形内角和定理及三角形的外角性质判断分析解答．
②∠BPC＞∠A．
③∠BPC=
（∠A+180°）．④∠BPC=
∠A．⑤∠BPC=
（180°-∠A）．⑥第①题，∠BPC＞∠A．
∵如图（1）∠BPC是△APB的外角，
∴∠BPC=∠A+∠ABP．（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）
所以∠BPC＞∠A．
故答案为：∠BPC＞∠A，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
⑦已知点P是∠ABC平分线和∠BAC外角平分线的交点，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（角平分线的性质）
∠1+∠2是△ABC的外角，
∴∠1+∠2=∠C+∠3+∠4（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和），
∴2∠2=90°+2∠3（等量代换）
∴∠2=45°+∠3--------①
如图∠2为△APB的外角，
∴∠2=∠P+∠3----------②（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和），
①②等量代换得：
∠P+∠3=45°+∠3，
所以，∠P=45°．
故答案为：45°．
分析：由已知，此题是根据三角形内角和定理及三角形的外角性质判断分析解答各题的．
点评：此题考查的知识点是三角形内角和定理与三角形外角的性质．解答此题的关键是根据三角形内角和定理及三角形的外角性质判断分析解答．
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