Question

已知一元二次方程x²－4x－5＝0的两个实数根为x₁、x₂，且x₁＜x₂．若x₁、x₂分别是抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴的两个交点A、B的横坐标(如下图所示)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线与y轴的交点为C，抛物线的顶点为D，请直接写出点C、D的坐标并求出四边形ABDC的面积；

(3)是否存在直线y＝kx(k＞0)与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

[注：抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为()]

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由方程x2－4x－5＝0得方程的两根x1＝－1，x2＝5． 　　所以A、B的坐标分别为A(－1，0)、B(5，0)．……1分 　　把A(－1，0)、B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c得 　　　解得…………………………………………2分 　　∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5．…………………………3分 　　(2)C(0，5)、D(2，9)．………………………………………5分 　　如图所示，过D作DE⊥x轴于点E，则 　　S四边形ACDB＝S△AOC＋S四边形OCDE＋S△EDB 　　＝…………6分 　　＝ 　　＝16＋14 　　＝30．………………………………………………7分 　　(3)存在满足条件的直线．………………………8分 　　设过B、D两点的直线解析式为y＝k1x＋d，把B(5，0)、D(2，9)代入y＝k1x＋d得 　　………………………………9分 　　解得 　　∴直线BD的解析式为y＝－3x＋15．…………………………10分 　　设y＝kx与y＝－3x＋15的交点为F(m，n)，作直线OF，则S△OBF＝，即OB×n＝15， 　　∴×5n＝15，∴n＝6． 　　又∵点F(m，6)在y＝－3x＋15上， 　　∴6＝－3m＋15． 　　∴m＝3． 　　∴点F(3，6)．…………………………………………………11分 　　把点F(3，6)代入y＝kx，得6＝3k，即k＝2．…………………12分