Question

直线l：y=-x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰直角△CDM斜边落在x轴上，且CD=6，如图1所示．若直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动，如图2所示，设移动后直线l运动后分别交x轴、y轴于Q、P两点，以OP、OQ为边作如图矩形OPRQ．设运动时间为t秒．
（1）求运动后点M、点Q的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）若设矩形OPRQ与运动后的△CDM的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t相应的取值范围；
（3）若直线l和△CDM运动后，直线l上存在点T使∠OTC=90°，则当在线段PQ上符合条件的点T有且只有两个时，求t的取值范围．

Answer 1

（1）解：过M作MN⊥CD于N，
∵等腰直角△CDM，
∴CN=DN=MN=3，
由勾股定理得：MC=MD=3，
∵点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动，
∴ON=6+3+2t=9+2t，
∵y=-x+3，
∴当y=0时，x=4，
∴B（4，0），
∵直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动，
∴直线PQ的解析式是y=-x+3+3t，
y=0代入得：0=-x+3+3t，
x=4t+4
∴OQ=4+4t，
∴M（9+2t，3），Q（4+4t，0），
答：运动后点M、点Q的坐标分别是（9+2t，3），（4+4t，0）．

（2）解：①∵当两图形不重合时，OB=3，OC=6，直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动
∴0＜t＜1，s=0，如图1，
②∵当t=2.5时，RQ过M点，
∴1＜t≤2.5，如图2，由矩形OPRQ，∠OQH=90°，
∵∠MCD=45°=∠CHQ，
∴CQ=（4+4t）-（6+2t）=2t-2=QH，
∴S=CQ•QH=（2t-2）²=2t²-4t+2，
即：s=2t²-4t+2；
③∵当t=4时，RQ过D点，
∴当2.5＜t＜4时，如图（3）：

同法可求DQ=OD-OQ=（6+6+2t）-（4+4t）=8-2t，
∴s=S_△CMD-S_△DQE=×6×3-（8-2t）²=-2t²+16t-23，
即：s=-2t²+16t-23；

④∵当t≥4时，△MDC在矩形PRQO的内部，
∴当t≥4时，s=S_△CMD=×6×3=9；
答：S与t的函数关系式是s=2t²-4t+2（1＜t≤2.5）或s=-2t²+16t-23（2.5＜t＜4）或s=9（t≥4）．

（3）解：①直线L经过点C，即C、Q重合

此时4+4t=6+2t，
解得：t=1；
②如图直线L切圆于F，即点T，OE=EF=3+t，EQ=1+3t

∵∠FQC=∠FQC，∠EFQ=∠COW=90°，
∴△QFE∽△QOW，
∴=，
=，
求得：t=3，
∴1＜t＜3，
答：t的取值范围是1＜t＜3．
分析：（1）过M作MN⊥CD于N，根据等腰直角三角形的性质求出CN=DN=MN=3，求出B的坐标，即可得到M、Q的坐标；
（2）①0＜t＜1时，s=0②1＜t≤2.5，如图2，S=CQ•QH，把CQ、QH代入即可求出答案；③当2.5＜t＜4时，如图（3）同法可求DQ，根据s=S_△CMD-S_△DQE，求出△CMD和△DQE的面积代入即可；④当t≥4时，s=S_△CMD=×6×3=9；
（3）①直线L经过点C，即C、Q重合，根据4+4t=6+2t，求出即可；②如图直线L切圆于F，证△QFE∽△QOW，得出
=，代入即可求出t的值，进一步得出t的取值范围．
点评：本题主要考查对矩形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，一次函数的性质，解一元一次方程，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．