Question

【题目】已知抛物线，其中.（1）直接写出关于的一元二次方程的两个根；

（2）试判断：抛物线的顶点在第几象限内；

（3）过点Ａ的直线y=x+m与抛物线相交于另一点Ｂ,抛物线的对称轴与x轴相交于Ｃ.试问：在抛物线上是否存在一点Ｄ，使？若存在，求抛物线的表达式，若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）x1=－1，x2=3 ； （2）在第一象限； （3）解析式为y=-x2+2x+3

【解析】试题分析：（1）由a-b+c=0，得一根为x=－1， 由对称轴x=﹣=1，得到另一根为x=3．

（2）由a-b+c=0， b=-2a得c=﹣3a ，得到抛物线为：y=ax2-2ax-3a．

其顶点坐标为：（1，－4a），由a＜0，得到顶点A（1，－4a）在第一象限；

（3）由直线y=x+m过顶点A（1，﹣4a），得到m=－1﹣4a，从而得到直线解析式为y=x－1﹣4a，解方程 可得到点B坐标．

由得到点B与点D关于对称轴x=1对称，从而得到D的坐标．

把D的坐标代入抛物线 即可求出a的值，从而得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，a-b+c=0，则一根为x=－1，

∵2a+b＝0，b=-2a，则对称轴x=﹣=1，∴另一根为x=3．

（2）由a-b+c=0， b=-2a得c=﹣3a ，抛物线为：y=ax2-2ax-3a．

∵b＞0，c＞0，∴a＜0 顶点坐标为：（1，－4a），∵－4a＞0，则顶点A（1，－4a）在第一象限；

（3）∵直线y=x+m过顶点A（1，﹣4a），∴m=－1﹣4a，

∴直线解析式为y=x－1﹣4a，

联立：

解得： ，

这里（1，﹣4a）为顶点A，（a+1，﹣3a）为点B坐标．

由知：点B与点D关于对称轴x=1对称，∴D（1－a， ﹣3a）．

∵D在抛物线 y=ax2-2ax-3a上，∴﹣3a＝a（1-a）2-2a（1-a）-3a．

a3-a=0，a=0，1，－1， 由a＜0得，a=－1，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3．