Question

如图1所示，点A为双曲线y=

k

x

(x＞0)上一点，过点A作AD⊥y轴于D点，连接AO．
（1）若△ADO的面积为3，求反比例函数的解析式；
（2）如图2所示，在（1）的条件下，以A为直角顶点作等腰Rt△ABC，其中点B在x轴的负半轴，点C在x轴的正半轴，求OC²-OB²的值；
（3）如图3所示，在（1）的条件下，若B点的坐标为B（-1，0），双曲线上是否存在一点P，连接AO、PO，使得∠AOP=45°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设A（a，

k

a

），则AD=a，OD=

k

a

，再由S_△ADO=3即可得出k的值，进而得出结论；
（2）作AM⊥x轴于点M，设A（a，b），则OM=a，由△ABC为等腰直角三角形可知AM=BM=CM=b，再由OC²-OB²=（OM+CM）²-（BM-OM）²即可得出结论；
（3）由（2）知，OC²-OB²=24，由B（-1，0）可得出OB，OC=5的长，作MA⊥OA交OP于M，连接CM，则∠2+∠OAC=90°，再由∠1+∠OAC=90°可知∠1=∠2，由∠AOP=45°，∠OAM=90°，可得出OA=AM，由AB=AC，可知△AOB≌△AMC，所以CM=OB=1，∠ABO=∠ACM=45°，∠MCB=∠ACB+∠ACM=90°再由CM⊥OC可得出M的坐标，设直线OM的解析式为y=kx（k≠0），把M点的坐标代入可求出k的值，进而得出其解析式，再联立正比例函数与反比例函数的解析式，故直线OM的解析式为y=

1

5

x，由此可得出P点坐标，进而可得出结论．．

解答：解：（1）设A（a，

k

a

），则AD=a，OD=

k

a

，
∵S_△ADO=3，
∴

1

2

a•

k

a

=3，
解得k=6，
∴此函数的解析式为：y=

6

x

；

（2）作AM⊥x轴于点M，设A（a，b），则OM=a，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AM=BM=CM=b，
∴OC²-OB²=（OM+CM）²-（BM-OM）²，
=（a+b）²-（b-a）²
=4ab
=4×6
=24；


（3）由（2）知，OC²-OB²=24，
∵B（-1，0），
∴OB=1，
∴OC=5，
作MA⊥OA交OP于M，连接CM，则∠2+∠OAC=90°，
∵∠1+∠OAC=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠AOP=45°，∠OAM=90°，
∴OA=AM，
∵AB=AC，
∴

AB=AC ∠1=∠2 OA=AM

，
∴△AOB≌△AMC（SAS），
∴CM=OB=1，∠ABO=∠ACM=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MCB=∠ACB+∠ACM=90°
∴CM⊥OC，
∴M（5，1），
设直线OM的解析式为y=kx（k≠0），
∴1=5k，解得k=

1

5

，
∴直线OM的解析式为y=

1

5

x，
把两解析式联立得，

y= 6 x y= 1 5 x

，
解得

x= 30 y= 30 5

或

x= 30 y=- 30 5

（舍去），
∴P（

30

，

30

5

），
∴存在点P使∠AOP=45°．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数求一次函数及反比例函数的解析式，难度适中．