题目内容
【题目】在□ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形DEBF是矩形;
(2)若AF平分∠DAB,AE=3,BF=4,求□ABCD的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)32
【解析】试题分析:(1)根据平行四边形的性质,可证DF∥EB,然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可证四边形DEBF是平行四边形,然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证;
(2)根据(1)可知DE=BF,然后根据勾股定理可求AD的长,然后根据角平分线的性质和平行线的性质可求得DF=AD,然后可求CD的长,最后可用平行四边形的面积公式可求解.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,即DF∥EB.
又∵DF=BE,
∴四边形DEBF是平行四边形.
∵DE⊥AB,
∴∠EDB=90°.
∴四边形DEBF是矩形.
(2)∵四边形DEBF是矩形,
∴DE=BF=4,BD=DF.
∵DE⊥AB,
∴AD===5.
∵DC∥AB,
∴∠DFA=∠FAB.
∵AF平分∠DAB,
∴∠DAF=∠FAB.
∴∠DAF=∠DFA.
∴DF=AD=5.
∴BE=5.
∴AB=AE+BE=3+5=8.
∴S□ABCD=AB·BF=8×4=32.
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