Question

【题目】如图，把一个边长为a的正方形分成9个完全相同的小正方形，把最中间的一个小正方形涂成白色（图①），再对其他8个小正方形作同样的分割（分成9个完全相同的小正方形，把最中间的一个小正方形涂成白色（图②），继续同样的方法分割图形（图③），…得到一些既复杂又漂亮的图形，它的每一部分放大，都和整体一模一样，它是波兰数学家谢尔宾斯基构造的，也被称为“谢尔宾斯基地毯”．求：

（1）图③中最新的一个最小正方形的边长；

（2）图③中所有涂黑部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）a；（2）a2．

【解析】

（1）观察图形的变化：每分割一次新的正方形的边长是上一个正方形边长的，按此规律即可求解；

（2）观察图形的变化：图①中涂黑部分所有正方形的面积是a，图②中涂黑部分所有正方形的面积为（）2a2，进而求解．

解：（1）观察图形的变化可知：

每分割一次，新的正方形的边长是上一个正方形的边长的，

所以图③中新的一个最小的正方形的边长为a＝a；

答：图③中新的一个最小正方形的边长为a；

（2）观察图形的变化可知：

图①中，涂黑部分正方形的面积为a，

图②中，涂黑部分所有正方形的面积为（）2a2＝a2，

图③中，涂黑部分所有正方形的面积为（）3a2＝a2．

答：图③中，涂黑部分所有正方形的面积为a2．