Question

已知二次函数y＝x²+ax+a－2.

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.

（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点A、B的距离为时，求出此二次函数的解析式.

（3）若（2）中的条件不变，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由.

Answer 1

解（1）因为△＝a²－4(a－2)＝(a－2)²+4＞0，所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点.

（2）设x₁、x₂是x²+ax+a－2＝0的两个根，由韦达定理得，

x₁+x₂＝－a，x₁x₂＝a－2，                

因两交点的距离是AB＝，所以＝＝.

即(x₁－x₂)²＝13，

变形为(x₁+x₂)²－4x₁x₂＝13，所以(－a)²－4(a－2)＝13

整理，得a²－4a－5＝0，解得a₁＝5，或a₂＝－1.

又因为a＜0，所以a＝－1，

所以此二次函数的解析式为y＝x²－x－3. 

（3）设点P的坐标为(x₀，y₀)，

因为AB＝.

所以S_△PAB＝AB·＝，所以＝，

所以＝3，则y₀＝±3.                  

当y₀＝3时，x₀²－x₀－3＝3，解得x₀＝－2，或3；

当y₀＝－3时，x₀²－x₀－3＝－3，解得x₀＝0，或1.

综上所述， P点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3).