题目内容
已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.
(1)当点P在线段AB上时,求证:△AQP∽△ABC;
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.
(1)证明见解析;(2)或6.
解析试题分析:(1)由两对角相等(∠APQ=∠C,∠A=∠A),证明△APQ∽△ABC;(2)当△PQB为等腰三角形时,有两种情况,需要分类讨论:(I)当点P在线段AB上时,如题图1所示,由△APQ∽△ABC计算AP的长,(II)当点P在线段AB的延长线上时,如题图2所示,利用角之间的关系,证明点B为线段AP的中点,从而可以求出AP.
试题解析:(1)∵∠A+∠APQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠APQ=∠C.
在△APQ与△ABC中,∵∠APQ=∠C,∠A=∠A,∴△APQ∽△ABC.
(2)在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5.
∵∠BPQ为钝角,∴当△PQB为等腰三角形时,只可能是PB=PQ.
(I)当点P在线段AB上时,如题图1所示,
由(1)可知,△APQ∽△ABC,∴,即
,解得:
.
∴.
(II)当点P在线段AB的延长线上时,如题图2所示,
∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,∴∠AQB=∠A. ∴BQ=AB.
∴AB=BP,点B为线段AB中点.
∴AP=2AB=2×3=6.
综上所述,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为或6.
考点:1.相似三角形的判定和性质;2.勾股定理;3.等腰三角形的性质;4.直角三角形斜边上中线的性质;5.分类思想的应用.
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小颖同学到学校领来n盒粉笔,整齐地摞在讲桌上,其三视图如图,则n的值是( )
A.6 | B.7 | C.8 | D.9 |