Question

（2003•泰州）已知：如图，⊙O与⊙O₁内切于点A，AO是⊙O₁的直径，⊙O的弦AC交⊙O₁于点B，弦DF经过点B且垂直于OC，垂足为点E．
（1）求证：DF与⊙O₁相切；
（2）求证：2AB²=AD•AF；
（3）若AB=，cos∠DBA=，求AF和AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题可连接O₁B，证O₁B⊥DF即可，由于OC⊥DF，因此只需证O₁B∥OC即可．可通过不同圆中圆的半径对应的角相等来求得，由此可得证．
（2）本题可通过证△ABD和△AFC相似来求解．连接OB，则OB⊥AC，因此可根据垂径定理得出AC=2AB，那么通过两三角形相似得出的AD：AC=AB：AF，即可得出所求的结论．
（3）本题可先求出BF的长，然后根据相似三角形FCB和ACF得出的CF ²=CB•CA，求出CF的长，还是这两个相似三角形，根据CF：AF=BC：CF求出AF的长，进而可根据（2）的结果求出AD的长．
解答：（1）证明：连接O₁B，
∵O₁B=O₁A，
∴∠O₁AB=∠O₁BA．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠O₁BA=∠OCA．
∴O₁B∥OC．
∵OC⊥DF，
∴O₁B⊥DF．
∴DF与⊙O₁相切．

（2）证明：连接OB，则OB⊥AC，
∴AC=2AB=2BC．
∵OC⊥DF，
∴弧DC=弧CF．
∴∠CAD=∠CAF．
∵∠D=∠ACF，
∴△ABD∽△AFC．
∴．
∵AC=2AB，
∴2AB²=AD•AF．

（3）解：直角△BEC中，BC=AB=2，cos∠CBE=cos∠DBA==，
∴BE=2，CE=4．
∵直角△OBE中，∠BOE=∠CBE=90°-∠BCO，BE=2，
∴BO=，OE=1．
∴AO=OC=OE+EC=5．
连接OF，直角△OEF中，OF=OA=5，OE=1，根据勾股定理有EF=2，
∴BF=2+2．
∵弧DC=弧CF，
∴∠CAF=∠BFC．
∴△ACF∽△FCB．
∴CF²=CB•CA=2AB²=40．
∴CF=2．
∴．
即=，
∴AF=4+2．
由（2）知：2AB²=AD•AF．
∴AD=4-2．
点评：本题主要考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识点，在（3）中通过相似三角形求出CF、AF的长是解题的关键．