题目内容

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=
1
2
AB，OD=2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比
5
-1
2
．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
（1）∵AB是⊙O的直径，DE=
1
2
AB，
∴OA=OC=OE=DE，
则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，
设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，
又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°，
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠CDB=36°．

（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．
∵OE=DE，∠CDB=36°，
∴△DOE是黄金三角形；
∵OC=OE，∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=36°．
∴△COE是黄金三角形；
∵∠COB=108°，
∴∠COD=72°；
又∠OCD=2x=72°，
∴∠OCD=∠COD．
∴OD=CD，
∴△COD是黄金三角形；

②∵△COD是黄金三角形，
∴
OC
OD
=
5
-1
2
，
∵OD=2，
∴OC=
5
-1，
∵CD=OD=2，DE=OC=
5
-1，
∴CE=CD-DE=2-（
5
-1）=3-
5
；

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，
如图所示，
ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；
ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．
练习册系列答案
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如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，若平移距离为2，则阴影部分的面积为_________
（1）以下列正方形网络的交点为顶点，分别画出两个相似比不为1的相似三角形，使它们：
（1）都是直角三角形；（2）都是锐角三角形；（3）都是钝角三角形．

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②分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
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在下列方格纸中，
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）以O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍的△A2B2C2．（保留作图痕迹）
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC
AB
=
BC
AC
，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（　　）
A．
5
-1
2
B．
3-
5
2
C．
5
+1
2
D．
3+
5
2
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离约为______cm．（
5
≈2.236，结果精确到0.01）
我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段PB与大段AP的长度之比等于大段AP与全段AB的长度之比，此时线段AP叫做线段AB、PB的比例中项，这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．
那么，一条线段的黄金分割点的个数是______；
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顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=1，则DE=______．
如图，下列形状的边框，不相似的是（　　）
A． B． C． D．  

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