Question

已知，如图，D（0，1），⊙_D交y轴于A、B两点，交x轴负半轴于C点，过C点的直线：y=-2x-4与y轴交于P．
（1）试猜想PC与⊙_D的位置关系，并说明理由．
（2）判断在直线PC上是否存在点E，使得S_△EOC=4S_△CDO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）PC与⊙D的位置关系是相切．理由如下：
在y=-2x-4中，得C（-2，0），P（0，-4），
则CD²=4+1=5，CP²=4+16=20，PD²=（1+4）²=25，
则CD²+CP²=PD²，
∴∠DCP=90°，
∴PC与⊙D的位置关系是相切．

（2）∵S_△CDO=1，
∴S_△EOC=4S_△CDO=4，
又OC=2，
∴点E到OC的距离是4，即点E的纵坐标是±4．
当y=4时，则x=4；当y=-4时，则x=0．
即E（-4，4）或（0，-4）．
分析：（1）分别求得点C、P的坐标，再根据勾股定理的逆定理得到直角三角形，从而根据切线的判定即可证明；
（2）首先求得三角形COD的面积，进而求得三角形EOC的面积，根据OC的长，确定点E的纵坐标，再根据直线的解析式求得点E的横坐标即可．
点评：此题综合考查了直线和坐标轴的交点求法、勾股定理的逆定理、切线的判定以及三角形的面积公式．