Question

（2012•德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．
（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）求线段AF的长．

Answer 1

分析：（1）求出弧AB=弧AE=弧EC，推出OA⊥BE，根据AG∥BE，推出OA⊥AG，根据切线的判定即可得出答案；
（2）求出等边三角形AOB，求出BD、AD长，求出∠EBC=30°，在△FBD中，通过解直角三角形求出DF即可．

解答：解：（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，
理由是：连接OA，

∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴弧AB=弧AE=弧EC，
∴点A是弧BE的中点，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴AG与⊙O相切． 

（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为正三角形，
又∵AD⊥OB，OB=1，
∴BD=OD=

1

2

，AD=

3

2

，
又∵∠EBC=

1

2

∠EOC=30°（圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
在Rt△FBD中，FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
∴AF=AD-DF=

3

2

-

3

6

=

3

3

．
答：AF的长是

3

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，垂径定理，切线的判定等知识点的应用，能运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：垂径定理和解直角三角形的巧妙运用，题目比较好，难度也适中．