Question

如图，从直角△ABC的直角顶点C作斜边AB的三等分点的连线CE、CF．已知CE=sinθ，CF=cosθ（θ为锐角），则AB=

 

．

Answer 1

分析：作EM⊥BC，FN⊥BC，设AB=3x则BE=EF=FA=x；设BC=3y则BM=MN=NC=y，2ME=NF，利用勾股定理分别列出：ME²+MC²=EC²，NF²+NC²=FC²，然后将两式相加，求得BE的长即可求得AB的长．

解答：解：作EM⊥BC，FN⊥BC．
∵∠C=90°，
∴∠BME=∠BNF=90°，
设AB=3x则BE=EF=FA=x
设BC=3y则BM=MN=NC=y，2ME=NF，
在Rt△CME中，ME²+MC²=EC²，即ME²+4y²=sin²α．（1）
在Rt△CNF中，NF²+NC²=FC²，即4ME²+y²=cos²α．（2）
（1）+（2）得：5ME²+5y²=1，ME²+y²=

1

5

，
在Rt△BME中：BE²=BM²+ME²，即：x²=y²+ME²=

1

5

，
∴AB=3BE=

3 5

5

．
故答案为：

3 5

5

．

点评：此题主要考查学生对勾股定理和锐角三角函数等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是设AB=3x则BE=EF=FA=x；设BC=3y则BM=MN=NC=y，2ME=NF，此题难度较大，属于难题．