题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动,它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ⊥BC,分别交AC、BC于点P和Q,设运动时间为t(s)(0<t<4).

(1)连结EF、DQ,若四边形EQDF为平行四边形,求t的值;
(2)连结EP,设△EPC的面积为ycm2 , 求y与t的函数关系式,并求y的最大值;
(3)若△EPQ与△ADC相似,请直接写出t的值.

【答案】
(1)

解:在矩形ABCD中,∵AB=6cm,BC=8cm,

∴AB=CD=6cm,AD=BC=8cm,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°,

∴由勾股定理得:AC=10,

∵FQ⊥BC,

∴∠FQC=90°,

∴四边形CDFQ是矩形,

∴DF=QC,DC=FQ=6cm,

∵点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动,它们的速度分别为2cm/s和1cm/s,

∴t秒后,BE=2t,DF=QC=t,

∴EQ=BC﹣BE﹣QC=8﹣3t,

∵四边形EQDF为平行四边形,

∴FD=EQ,

即:8﹣3t=t,

解得:t=2;


(2)

解:∵∠FQC=90°,∠B=90°,

∴∠FQC=∠B,

∴PQ∥AB,

∴△CPQ∽△CAB,

∴PQ=

∵SEPC= ECPQ,

∴y= (8﹣2t) =﹣ 2+3t=﹣ (t﹣2)2+3,

即y=﹣ (t﹣2)2+3,

∵a=﹣ <0,

∴y有最大值,当x=2时,y的最大值为3;


(3)

解:分两种情况讨论:

若E在FQ左边,

①当△EPQ∽△ACD时,

可得:

即:

解得:t=2;

②当△EPQ∽△CAD时,

可得:

解得:t=

若E在FQ右边,

③当△EPQ∽△ACD时,

可得:

即:

解得:t=4(舍去);

④当△EPQ∽△CAD时,

可得:

解得:t=

故若△EPQ与△ADC相似,则t的值为:2或


【解析】(1)由四边形EQDF为平行四边形,可得:DF=EQ,然后分别用含有t的式子表示DF与EQ即可求t的值;(2)先证明△CPQ∽△CAB,然后根据相似三角形的对应边成比例,用含有t的式子表示PQ,然后根据三角形的面积公式即可y与t的函数关系式,然后根据二次函数的最值公式计算即可;(3)首先分别从点E在FQ左边与右边,再由△EPQ∽△ACD;△EPQ∽△CAD.然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求出相应的t的值.

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