题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；
（2）连结EP，设△EPC的面积为ycm2 ， 求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
（3）若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．
【答案】
（1）
解：在矩形ABCD中，∵AB=6cm，BC=8cm，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°，
∴由勾股定理得：AC=10，
∵FQ⊥BC，
∴∠FQC=90°，
∴四边形CDFQ是矩形，
∴DF=QC，DC=FQ=6cm，
∵点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，
∴t秒后，BE=2t，DF=QC=t，
∴EQ=BC﹣BE﹣QC=8﹣3t，
∵四边形EQDF为平行四边形，
∴FD=EQ，
即：8﹣3t=t，
解得：t=2；
（2）
解：∵∠FQC=90°，∠B=90°，
∴∠FQC=∠B，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴ 
，
即 
，
∴PQ= 
，
∵S△EPC= 
ECPQ，
∴y= （8﹣2t） =﹣ 2+3t=﹣ 
（t﹣2）2+3，
即y=﹣ （t﹣2）2+3，
∵a=﹣ ＜0，
∴y有最大值，当x=2时，y的最大值为3；
（3）
解：分两种情况讨论：
若E在FQ左边，
①当△EPQ∽△ACD时，
可得： 
，
即： 
，
解得：t=2；
②当△EPQ∽△CAD时，
可得： 
，
即 
，
解得：t= 
．
若E在FQ右边，
③当△EPQ∽△ACD时，
可得： ，
即： 
，
解得：t=4（舍去）；
④当△EPQ∽△CAD时，
可得： ，
即 
，
解得：t= 
．
故若△EPQ与△ADC相似，则t的值为：2或 或 ．
【解析】（1）由四边形EQDF为平行四边形，可得：DF=EQ，然后分别用含有t的式子表示DF与EQ即可求t的值；（2）先证明△CPQ∽△CAB，然后根据相似三角形的对应边成比例，用含有t的式子表示PQ，然后根据三角形的面积公式即可y与t的函数关系式，然后根据二次函数的最值公式计算即可；（3）首先分别从点E在FQ左边与右边，再由△EPQ∽△ACD；△EPQ∽△CAD．然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求出相应的t的值．
