题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动,它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ⊥BC,分别交AC、BC于点P和Q,设运动时间为t(s)(0<t<4).
(1)连结EF、DQ,若四边形EQDF为平行四边形,求t的值;
(2)连结EP,设△EPC的面积为ycm2 , 求y与t的函数关系式,并求y的最大值;
(3)若△EPQ与△ADC相似,请直接写出t的值.
【答案】
(1)
解:在矩形ABCD中,∵AB=6cm,BC=8cm,
∴AB=CD=6cm,AD=BC=8cm,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90°,
∴由勾股定理得:AC=10,
∵FQ⊥BC,
∴∠FQC=90°,
∴四边形CDFQ是矩形,
∴DF=QC,DC=FQ=6cm,
∵点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动,它们的速度分别为2cm/s和1cm/s,
∴t秒后,BE=2t,DF=QC=t,
∴EQ=BC﹣BE﹣QC=8﹣3t,
∵四边形EQDF为平行四边形,
∴FD=EQ,
即:8﹣3t=t,
解得:t=2;
(2)
解:∵∠FQC=90°,∠B=90°,
∴∠FQC=∠B,
∴PQ∥AB,
∴△CPQ∽△CAB,
∴ ,
即 ,
∴PQ= ,
∵S△EPC= ECPQ,
∴y= (8﹣2t)
=﹣
2+3t=﹣
(t﹣2)2+3,
即y=﹣ (t﹣2)2+3,
∵a=﹣ <0,
∴y有最大值,当x=2时,y的最大值为3;
(3)
解:分两种情况讨论:
若E在FQ左边,
①当△EPQ∽△ACD时,
可得: ,
即: ,
解得:t=2;
②当△EPQ∽△CAD时,
可得: ,
即 ,
解得:t= .
若E在FQ右边,
③当△EPQ∽△ACD时,
可得: ,
即: ,
解得:t=4(舍去);
④当△EPQ∽△CAD时,
可得: ,
即 ,
解得:t= .
故若△EPQ与△ADC相似,则t的值为:2或 或
.
【解析】(1)由四边形EQDF为平行四边形,可得:DF=EQ,然后分别用含有t的式子表示DF与EQ即可求t的值;(2)先证明△CPQ∽△CAB,然后根据相似三角形的对应边成比例,用含有t的式子表示PQ,然后根据三角形的面积公式即可y与t的函数关系式,然后根据二次函数的最值公式计算即可;(3)首先分别从点E在FQ左边与右边,再由△EPQ∽△ACD;△EPQ∽△CAD.然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求出相应的t的值.
