Question

（2013•临汾二模）操作与证明
把两个全等的含45°角的三角板按如图所示的位置放置，使B、A、D在一条直线上，C、A、E在一条直线上，过点C作CM⊥BD于M，过点E作EF∥BD；直线CM与EF相交于点F．
（1）求证：△CEF是等腰直角三角形．
猜想与发现
（2）在图1的条件下，CF与BD的数量关系为

CF=

1

2

BD

．
（3）如图2若把图1中Rt△ADE换为Rt△ABC不全等但相似的三角板时，其他条件不变，此时CF与BD的数量关系为

CF=

1

2

BD

．
拓展与探究
（4）如图3若将图1中的两块三角板换成任意两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE），使锐角顶点A重合，点C、A、E在一条直线上，连接BD交AC于G，过点C作CM⊥BD于M，过点E作EF∥BD，直线CM与EF于点F，图1中CF与BD的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠F=90°，∠FCE=45°，求出CF=EF，根据等腰直角三角形的判定推出即可．
（2）根据直角三角形斜边上中线性质得出CM=

1

2

AB=

1

2

CF，推出CF=BD，求出AD=AB，即可得出答案．
（3）设CM=a，EF=CF=x，由勾股定理求出CE=

2

x，AC=

2

a，求出AE=DE=

2

x-

2

a，在Rt△AED中，由勾股定理求出AD=

2

（

2

x-

2

a），即可求出答案．
（4）过E作EN⊥BD于N，推出FM=EN，求出EN=

1

2

GD，推出△BCG是等腰直角三角形，求出CM=

1

2

BG，即可求出答案．

解答：（1）证明：在△ABC中，AC=BC，CM⊥AB，∠ACB=90°
∴∠CMA=90°，∠ACF=

1

2

∠ACB=45°，
∵BD∥EF，
∴F=∠CMA=90°，
∴∠FEC=45°=∠FCE，
∴CF=EF，
即△CEF是等腰直角三角形；

（2）CF=

1

2

BD，
证明：∵△ACB≌△AED，
∴AD=AB=

1

2

BD，CA=AE，
∵EF∥AB，
∴CM=

1

2

CF，
∵BM=AM，∠ACB=90°，
∴CM=

1

2

AB，
∴AB=CF=

1

2

BD，
故答案为：CF=

1

2

BD；

（3）CF=

1

2

BD，
证明：设CM=a，EF=CF=x，
则由勾股定理得：CE=

2

x，
∵∠ACB=90°，AM=BM，
∴AB=2CM=2a，AM=CM=a，
由勾股定理得：AC=

2

a，
AE=DE=

2

x-

2

a，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD=

2

（

2

x-

2

a），
∴BD=AB+AD=2a+

2

（

2

x-

2

a）=2x
即CF=

1

2

BD，
故答案为：CF=

1

2

BD；

（4）成立，
证明：过E作EN⊥BD于N，
则EN∥FM，
∵DB∥EF，
∴EN=FM，
∵△ABC≌△DAE，
∴∠1=∠2，AB=DA，
∴∠ABD=∠4，
∴∠1+∠ABD=∠2+∠4，
∵∠5=∠1+∠ABD，
∴∠5=∠EDG，
∵∠DEA=90°，
∴△GED是等腰直角三角形，
∵EN⊥DG，
∴EN=

1

2

GD，
∵在Rt△BCG中，∠3=∠5=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵CM⊥BG，
∴CM=

1

2

BG，
∴CF=CM+FM=

1

2

BG+EN=

1

2

BG+

1

2

GD=

1

2

BD．

点评：本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰直角三角形性质的判定的应用，题目比较典型，但是难度偏大．