Question

如图，BE、CF是△ABC的高，它们相交于点O，点P在BE上，Q在CF的延长线上且BP=AC，CQ=AB，
（1）求证：△ABP≌△QCA．
（2）AP和AQ的位置关系如何，请给予证明．

Answer 1

分析：（1）由于∠AEB=90°，∠AFC=90°，可得∠ABE=∠ACQ，进而利用SAS得证△ABP≌△QCA．
（2）由（1）中的全等得∠BAP=∠Q，又有CF⊥AB，通过角之间的转化即可得出结论．

解答：证明：（1）∵BE、CF是△ABC的高，即∠AEB=90°，∠AFC=90°，
∴∠ABP+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠ACQ，
又BP=AC，CQ=AB，
∴△ABP≌△QCA．
（2）PA⊥AQ．
证明：由△ABP≌△QCA得∠BAP=∠Q，
∵∠Q+∠BAQ=90°，∴∠BAP+∠BAQ=90°，即∠PAQ=90°，
∴PA⊥AQ．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，应熟练掌握．