Question

（2006•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4．以点C为旋转中心把△ABC旋转到△A′B′C，点B在边A′B′上，边A′C与边AB相交于点D．求△ABC与△A′B′C重叠部分的面积．

Answer 1

分析：由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠ABC=60°，根据旋转的性质得BC=B′C=4，∠B′=∠ABC=60°，则可判断△B′BC为等边三角形，得到∠BCB′=60°，于是有∠BCD=30°，∠BDC=90°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得BD=

1

2

BC=2，CD=

3

BD=2

3

，然后根据三角形的面积公式即可计算出S_△BCD．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABC绕点C旋转到△A′B′C，且点B在边A′B′上，
∴BC=B′C=4，∠B′=∠ABC=60°，
∴△B′BC为等边三角形，
∴∠BCB′=60°，
∵∠A′CB′=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠BDC=90°，
∴BD=

1

2

BC=2，CD=

3

BD=2

3

，
∴S_△BCD=

1

2

BD•CD=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
即△ABC与△A′B′C重叠部分的面积为2

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30°的直角三角形三边的关系．