题目内容

如图,已知点O为坐标原点,∠AOB=30°,∠B=90°,且点A的坐标为(2,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,O三点,求此二次函数的解析式;
(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括O,B点)上,是否存在一点C,使得四边形ABCO的面积最大?若存在,求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积;若不存在,请说明理由.
分析:(1)在Rt△OAB中,由∠AOB=30°可以得到OB=
3
,过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,利用已知条件可以求出OD,BD,也就求出B的坐标;
(2)根据待定系数法把A,B,O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式;
(3)设存在点C(x,-
2
3
3
x2+
4
3
3
x),使四边形ABCO面积最大,而△OAB面积为定值,只要△OBC面积最大,四边形ABCO面积就最大.过点C作x轴的垂线CE,垂足为E,交OB于点F,则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1
2
|CF|•|OE|+
1
2
|CF|•|ED|=
1
2
|CF|•|OD|=
3
4
|CF|,而|CF|=yC-yF=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x-
3
3
x=-
2
3
3
x2+
3
x,这样可以得到S△OBC=-
3
2
x2+
3
3
4
x,利用二次函数就可以求出△OBC面积最大值,也可以求出C的坐标.
解答:解:(1)在Rt△OAB中,
∵∠AOB=30°,
∴OB=
3

过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,
则OD=
3
cos30°=
3
2
,BD=
1
2
BO=
3
2

∴点B的坐标为(
3
2
3
2
);

(2)将A(2,0)、B(
3
2
3
2
)、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c,
得:
4a+2b+c=0
9
4
a+
3
2
b+c=
3
2
c=0

解方程组,
a=-
2
3
3
b=
4
3
3
c=0

∴所求二次函数解析式是y=-
2
3
3
x2+
4
3
3
x;

(3)设存在点C(x,-
2
3
3
x2+
4
3
3
x)(其中0<x<
3
2
),使四边形ABCO面积最大,而△OAB面积为定值,
只要△OBC面积最大,四边形ABCO面积就最大.
过点C作x轴的垂线CE,垂足为E,交OB于点F,
则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1
2
|CF|•|OE|+
1
2
|CF|•|ED|=
1
2
|CF|•|OD|=
3
4
|CF|,
而|CF|=yC-yF=-
2
3
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x2+
4
3
3
x-
3
3
x=-
2
3
3
x2+
3
x,
∴S△OBC=-
3
2
x2+
3
3
4
x,
∴当x=
3
4
时,△OBC面积最大,最大面积为
9
3
32

此时C点坐标为(
3
4
5
3
8
),
故四边形ABCO的最大面积为:
25
3
32
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到利用待定系数法求解二次函数的解析式,利用二次函数的性质求解函数的最大值等知识,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
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