题目内容
如图,已知点O为坐标原点,∠AOB=30°,∠B=90°,且点A的坐标为(2,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,O三点,求此二次函数的解析式;
(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括O,B点)上,是否存在一点C,使得四边形ABCO的面积最大?若存在,求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积;若不存在,请说明理由.
(1)求点B的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,O三点,求此二次函数的解析式;
(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括O,B点)上,是否存在一点C,使得四边形ABCO的面积最大?若存在,求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积;若不存在,请说明理由.
分析:(1)在Rt△OAB中,由∠AOB=30°可以得到OB=
,过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,利用已知条件可以求出OD,BD,也就求出B的坐标;
(2)根据待定系数法把A,B,O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式;
(3)设存在点C(x,-
x2+
x),使四边形ABCO面积最大,而△OAB面积为定值,只要△OBC面积最大,四边形ABCO面积就最大.过点C作x轴的垂线CE,垂足为E,交OB于点F,则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
|CF|•|OE|+
|CF|•|ED|=
|CF|•|OD|=
|CF|,而|CF|=yC-yF=-
x2+
x-
x=-
x2+
x,这样可以得到S△OBC=-
x2+
x,利用二次函数就可以求出△OBC面积最大值,也可以求出C的坐标.
3 |
(2)根据待定系数法把A,B,O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式;
(3)设存在点C(x,-
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
3 |
| ||
2 |
3
| ||
4 |
解答:解:(1)在Rt△OAB中,
∵∠AOB=30°,
∴OB=
,
过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,
则OD=
cos30°=
,BD=
BO=
,
∴点B的坐标为(
,
);
(2)将A(2,0)、B(
,
)、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c,
得:
,
解方程组,
,
∴所求二次函数解析式是y=-
x2+
x;
(3)设存在点C(x,-
x2+
x)(其中0<x<
),使四边形ABCO面积最大,而△OAB面积为定值,
只要△OBC面积最大,四边形ABCO面积就最大.
过点C作x轴的垂线CE,垂足为E,交OB于点F,
则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
|CF|•|OE|+
|CF|•|ED|=
|CF|•|OD|=
|CF|,
而|CF|=yC-yF=-
x2+
x-
x=-
x2+
x,
∴S△OBC=-
x2+
x,
∴当x=
时,△OBC面积最大,最大面积为
.
此时C点坐标为(
,
),
故四边形ABCO的最大面积为:
.
∵∠AOB=30°,
∴OB=
3 |
过点B作BD垂直于x轴,垂足为D,
则OD=
3 |
3 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
∴点B的坐标为(
3 |
2 |
| ||
2 |
(2)将A(2,0)、B(
3 |
2 |
| ||
2 |
得:
|
解方程组,
|
∴所求二次函数解析式是y=-
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
(3)设存在点C(x,-
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
3 |
2 |
只要△OBC面积最大,四边形ABCO面积就最大.
过点C作x轴的垂线CE,垂足为E,交OB于点F,
则S△OBC=S△OCF+S△BCF=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
而|CF|=yC-yF=-
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
3 |
∴S△OBC=-
| ||
2 |
3
| ||
4 |
∴当x=
3 |
4 |
9
| ||
32 |
此时C点坐标为(
3 |
4 |
5
| ||
8 |
故四边形ABCO的最大面积为:
25
| ||
32 |
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到利用待定系数法求解二次函数的解析式,利用二次函数的性质求解函数的最大值等知识,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
练习册系列答案
相关题目