题目内容
【题目】如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,下面结论: ①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④PQ∥AC.
其中结论正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】D
【解析】解:∵△ABD、△BCE为等边三角形, ∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,
∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°,
在△ABE和△DBC中,
∵ ,
∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴①正确;
∵△ABE≌△DBC,
∴∠BAE=∠BDC,
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°,
∴②正确;
在△ABP和△DBQ中,
∵ ,
∴△ABP≌△DBQ(ASA),
∴BP=BQ,
∴△BPQ为等边三角形,
∴③正确;
∵BP=BQ,∠PBQ=60°,
∴△BPQ是等边三角形,
∴∠PQB=60°,
∴∠PQB=∠QBC,
∴PQ∥AC,
故④正确.
故选D.
①由等边三角形的性质得出AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,得出∠ABE=∠DBC,由SAS即可证出△ABE≌△DBC;
②由△ABE≌△DBC,得出∠BAE=∠BDC,根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°;
③由ASA证明△ABP≌△DBQ,得出对应边相等BP=BQ,即可得出△BPQ为等边三角形;
④推出△BPQ是等边三角形,得到∠PBQ=60°,根据平行线的性质即可得到PQ∥AC,故④正确.
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