题目内容
（2011•朝阳）如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=
，点D在AC上，点E在BC上，且CD=CE，连接DE．
（1）线段BE与AD的数量关系是
（2）如图（2），当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
（3）绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°＜α＜180°时，延长DC交AB于点F，请在图（3）中补全图形，并求出当AF=1+
时，旋转角α的度数．
| 2 |
（1）线段BE与AD的数量关系是
BE=AD
BE=AD
，位置关系是BE⊥AD
BE⊥AD
．（2）如图（2），当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度α后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
（3）绕点C继续顺时针旋转△CDE，当90°＜α＜180°时，延长DC交AB于点F，请在图（3）中补全图形，并求出当AF=1+
| ||
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分析：（1）利用线段间的和差关系求得BE=AD，根据已知条件∠ACB=90°推知两线段的位置关系；
（2）先延长BE交AD于点M在△BCE和△ACD中，根据BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，得出△BCE≌△ACD，从而证出BE=AD，再根据∠1=∠2，∠CAD=∠CBE，即可证出（1）中的结论仍然成立；
（3）先过点C作CN⊥AB于点N，根据已知条件得出CN=AN=
AB=1，∠BCN=45°，得出FN=AF-AN=
，再在Rt△CNF中，tan∠FCN=
=
，得出∠BCF的度数，从而证出∠BCE=∠BCF+∠FCE=105°，再求出AF的值，从而得出角α的度数．
（2）先延长BE交AD于点M在△BCE和△ACD中，根据BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，得出△BCE≌△ACD，从而证出BE=AD，再根据∠1=∠2，∠CAD=∠CBE，即可证出（1）中的结论仍然成立；
（3）先过点C作CN⊥AB于点N，根据已知条件得出CN=AN=
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| ||
| 3 |
| FN |
| CN |
| ||
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解答：解：（1）∵AC=BC=
，CD=CE，
∴BE=AD，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴BE⊥AD．
（2）仍然成立．
如图（1），延长BE交AD于点M．
在△BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD=α，CE=CD，
∴△BCE≌△ACD．
∴BE=AD．
∵∠1=∠2，∠CAD=∠CBE，∴∠AMB=∠ACB=90°．
即 BE⊥AD．
（3）如图（2），过点C作CN⊥AB于点N，
∵AC=BC=
，∠ACB=90°，
∴CN=AN=
AB=1，∠BCN=45°．
∵AF=1+
，
∴FN=AF-AN=
．
在Rt△CNF中，tan∠FCN=
=
，
∴∠FCN=30°．
∴∠BCF=∠BCN-∠FCN=15°．
∵∠FCE=90°，
∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=105°．
∴当AF=1+
时，旋转角α为105°．
| 2 |
∴BE=AD，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴BE⊥AD．
（2）仍然成立．
如图（1），延长BE交AD于点M．
在△BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD=α，CE=CD，∴△BCE≌△ACD．
∴BE=AD．
∵∠1=∠2，∠CAD=∠CBE，∴∠AMB=∠ACB=90°．
即 BE⊥AD．
（3）如图（2），过点C作CN⊥AB于点N，
∵AC=BC=| 2 |
∴CN=AN=
| 1 |
| 2 |
∵AF=1+
| ||
| 3 |
∴FN=AF-AN=
| ||
| 3 |
在Rt△CNF中，tan∠FCN=
| FN |
| CN |
| ||
| 3 |
∴∠FCN=30°．
∴∠BCF=∠BCN-∠FCN=15°．
∵∠FCE=90°，
∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=105°．
∴当AF=1+
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点评：此题考查了解等腰直角三角形；熟练运用旋转的性质，全等三角形的判断与性质，锐角三角函数值等知识点进行解答即可．
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