Question

（本小题10分）如图11，已知二次函数y= -x² +mx +4m的图象与x轴交于
A(x₁，0)，B(x₂，0)两点(B点在A点的右边)，与y轴的正半轴交于点C，且(x₁+x₂)- x₁x₂=10.
（1）求此二次函数的解析式.
（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；
（3）连结BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S.请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由.

Answer 1

解：（1）由根与系数的关系，得
∵(x₁+x₂) -x₁x₂=10，
∴ m + 4m =10， m=2.
∴二次函数的解析式为y = -x² +2x +8.
（2）由-x² +2x +8=0，解得x₁= -2，x₂=4.
y = -x² +2x +8= -(x-1)²+9.
∴B，C，M的坐标分别为B(4，0)，C(0，8)，M(1，9).
（3）如图，过M作MN⊥x轴于N，则ON=1，MN=9，OB=4，BN=3.

∵OH=t(1<t<4)，∴BH=4-t.
由PH∥MN，可求得PH=3BH=3(4-t)，
∴S=(PH+CO)·OH
=(12-3t+8)t
= -t²+10t(1<t<4).
S= -t²+10t= -(t-)²+.
∵1<<4.
∴当t=时，S有最大值，其最大值为.

解析