题目内容
(2012•三明)已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线y=-x2+bx+c的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.
(1)如图,当点M与点A重合时,求:
①抛物线的解析式;
②点N的坐标和线段MN的长;
(2)抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)如图,当点M与点A重合时,求:
①抛物线的解析式;
②点N的坐标和线段MN的长;
(2)抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)①首先求得直线与x轴,y轴的交点坐标,利用二次函数的对称轴的公式即可求解;
②N在直线上同时在二次函数上,因而设N的横坐标是a,则在两个函数上对应的点的纵坐标相同,据此即可求得a的值,即N的坐标,过N作NC⊥x轴,垂足为C,利用勾股定理即可求得MN的长;
(2)△AOB的三边长可以求得OB=2OA,AB边上的高可以求得是
,抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移,则MN的长度不变,根据(1)的结果是2
,MN是AB边上的高的二倍,当OM⊥AB或ON⊥AB时,两个三角形相似,据此即可求得M的坐标.
②N在直线上同时在二次函数上,因而设N的横坐标是a,则在两个函数上对应的点的纵坐标相同,据此即可求得a的值,即N的坐标,过N作NC⊥x轴,垂足为C,利用勾股定理即可求得MN的长;
(2)△AOB的三边长可以求得OB=2OA,AB边上的高可以求得是
5 |
5 |
解答:解:(1)①∵直线y=2x-5与x轴和y轴交于点A和点B,
∴A(
,0),B(0,-5).
解法一:当顶点M与点A重合时,∴M(
,0).
∴抛物线的解析式是:y=-(x-
)2.即y=-x2+5x-
.
解法二:当顶点M与点A重合时,∴M(
,0).
∵-
=
,∴b=5.
又∵
=0,∴c=-
.
∴抛物线的解析式是:y=-x2+5x-
.
②∵N在直线y=2x-5上,设N(a,2a-5),又N在抛物线y=-x2+5x-
上,
∴2a-5=-a2+5a-
.
解得 a1=
,a2=
(舍去)
∴N(
,-4).
过N作NC⊥x轴,垂足为C.
∵N(
,-4),∴C(
,0).
∴NC=4. MC=OM-OC=
-
=2.
∴MN=
=
=2
;
(2)∵A(
,0),B(0,-5).
∴OA=
,OB=5,直线AB的解析式是:y=2x-5,
则OB=2OA,AB=
=
,
当OM⊥AB时,直线OM的解析式是:y=-
x,
解方程组:
,
解得:
,
则M的坐标是(2,-1);
当ON⊥AB时,N的坐标是(2,-1),设M的坐标是(m,2m-5)则m>2,
∵ON=
,
∴OM2=ON2+MN2,
即m2+(2m-5)2=5+(2
)2,
解得:m=4,
则M的坐标是M(4,3).
故M的坐标是:(2,-1)或(4,3).
∴A(
5 |
2 |
解法一:当顶点M与点A重合时,∴M(
5 |
2 |
∴抛物线的解析式是:y=-(x-
5 |
2 |
25 |
4 |
解法二:当顶点M与点A重合时,∴M(
5 |
2 |
∵-
b |
2×(-1) |
5 |
2 |
又∵
4×(-1)c-b2 |
4×(-1) |
25 |
4 |
∴抛物线的解析式是:y=-x2+5x-
25 |
4 |
②∵N在直线y=2x-5上,设N(a,2a-5),又N在抛物线y=-x2+5x-
25 |
4 |
∴2a-5=-a2+5a-
25 |
4 |
解得 a1=
1 |
2 |
5 |
2 |
∴N(
1 |
2 |
过N作NC⊥x轴,垂足为C.
∵N(
1 |
2 |
1 |
2 |
∴NC=4. MC=OM-OC=
5 |
2 |
1 |
2 |
∴MN=
NC2+MC2 |
42+22 |
5 |
(2)∵A(
5 |
2 |
∴OA=
5 |
2 |
则OB=2OA,AB=
OA2+OB2 |
5
| ||
2 |
当OM⊥AB时,直线OM的解析式是:y=-
1 |
2 |
解方程组:
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解得:
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则M的坐标是(2,-1);
当ON⊥AB时,N的坐标是(2,-1),设M的坐标是(m,2m-5)则m>2,
∵ON=
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∴OM2=ON2+MN2,
即m2+(2m-5)2=5+(2
5 |
解得:m=4,
则M的坐标是M(4,3).
故M的坐标是:(2,-1)或(4,3).
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式,注意到MN是AB边上的高的二倍,当OM⊥AB或ON⊥AB时,两个三角形相似是解题的关键.
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